史瓦西半径

史瓦西半径（Schwarzschild radius）是任何具有质量的物质都存在的一个临界半径特征值。在物理学和天文学中，尤其在万有引力理论、广义相对论中，它是一个非常重要的概念。1916年，德国天文学家卡尔·史瓦西首次发现史瓦西半径的存在，这个半径是一个球状对称、不自转又不带电荷的物体的重力场的精确解。该值的含义是，如果特定质量的物质被压缩到该半径值之内，将没有任何已知类型的力（如简并压力）可以阻止该物质自身的重力将自己压缩成一个奇点。

上图展示五个互相关联的质量的特性以及将这些特性联系起来的正比例常数。每一个质量的例子，都被认为包含全部的五个特性，然而，由于巨大的比例系数，通常很难确认两个或者三个以上的属性。

• 史瓦西半径（r_s）表示物质弯曲时空的能力。
• 标准引力参数（μ）表示一个物体对其他物体施加牛顿引力的能力。
• 惯性质量（m）表示质量对力的牛顿响应。
• 静止质量（E₀）表示质量转换成其他形式能量的能力。
• 康普顿波长（λ）表示质量对局部时空几何的量子响应。

符合条件（即不自转、不带电）的任何物体的史瓦西半径皆与其质量成正比。理论上，太阳的史瓦西半径约为3公里，地球的史瓦西半径只有约9毫米。

一个不少于3.2个太阳质量的星体一旦坍缩至小于它的史瓦西半径便会因为自身重力坍缩成为一点，从而变成黑洞。对于一个已经形成的黑洞来说，若将史瓦西半径内的物质看作一个系统，则该系统内的任何物质都无法逃逸出该半径之外。换句话说，该半径也是不带电荷无自转黑洞的视界，光和粒子均无法逃离这个球面。由于黑洞的无毛性（即我们无法得到有关黑洞内部的有效信息），再加上目前所知的科学定律在史瓦西半径内均会失效，因此我们无法观测或者预测史瓦西半径内的事件。也就是说，我们无法确切知道黑洞内是否存在一个由某种物质组成的球体，如果存在的话，其球体的半径是多少。正因如此，视界通常被认为是黑洞的表面。又因为黑洞视界本身很难直接测量，史瓦西半径等类似方法就作为估算视界半径的方法。银河中心的超大质量黑洞的史瓦西半径估计约为780万公里（地球的史瓦西半径约为9毫米）。一个平均密度等于临界密度的球体的史瓦西半径等于我们的可观测宇宙的半径，也就是说如果可观测宇宙的平均密度为临界密度，其本身可被理解为一个黑洞。

然而，旋转黑洞、带电荷黑洞及旋转并带电黑洞的解则较为复杂，在不同的条件下，它们可以有两层、一层或者甚至没有视界（裸奇点）。

比较

	史瓦西半径 (m)	密度 (g/cm3)
银河	2.08×1015 (~0.2 光年)	3.72×10-8
太阳	2.95×103	1.84×1016
地球	8.87×10-3	2.04×1027
人马座A*	1.27×1010	1.1×103

公式

一个物体的史瓦西半径与其质量呈正比，其比例常数中仅有万有引力常数和光速出现。史瓦西半径的公式，其实是从物件逃逸速度的公式衍生而来。它将物件的逃逸速度设为光速，配合万有引力常数及天体质量，便能得出其史瓦西半径。

$r_{s}={\frac {2Gm}{c^{2}}}$

当中，

$r_{s}$代表史瓦西半径；

$G$代表万有引力常数，即6.67×10^-11 N m² / kg²；

m代表天体质量；

c²代表光速的平方值，即 (299,792,458 m/s)² = 8.98755×10¹⁶ m²/s²。

把常数的数值计算，这条公式也可写成

$r_{s}=m\times 1.48\times 10^{-27}$

$r_{s}$的单位是“米”，而$m$的单位则是“千克”。

要注意的是，虽然以上公式能计算出准确数值，但需透过广义相对论才能够正确推导出史瓦西半径。有人认为牛顿力学及广义相对论能导出相同结果，纯粹是巧合而已，但也有人认为这暗示着尚未被发现的理论。

从牛顿力学出发

下述为上式以经典力学为依归的推导过程，虽然结果与用广义相对论得出的解不谋而合，也不能视为正确，因牵涉到光速，而必须作相对性的修正，仅供参考。

设一物体$a$质量为$m_{a}$，想摆脱一质量为$m$、半径为$r$的星体的引力场，飞到无限远处，开始时该物体在星体的表面上。因此，它的动能必须大于重力势能

${\frac {1}{2}}m_{a}v^{2}\geq {\frac {Gm_{a}m}{r}}$

移项后得出

$v\geq {\sqrt {\frac {2Gm}{r}}}$……①

此时，上式的$v$就是物体$a$的脱离速度。

若该星体是一个黑洞，而物体$a$刚位于它的视界之上，则

$r=r_{s}$……②

此刻，其脱离速度必为光速$c$，所以

$v=c$……③

把②与③代入①得

$c\geq {\sqrt {\frac {2Gm}{r_{s}}}}$

整理后再改写成

$r_{s}={\frac {2Gm}{c^{2}}}$

由此结论可知：

当把星体视为完美球体

可得体积为

V=${\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {2MG}{c^{2}}}\right)^{3}$

而密度的临界值 D=${\frac {3}{32}}{\frac {c^{6}}{\pi M^{2}G^{3}}}$

所以当 D$\geq {\frac {3}{32}}{\frac {c^{6}}{\pi M^{2}G^{3}}}$时·星体会因为重力坍缩而变为黑洞。

从以上结论不难得知其星体的质量越大，密度的临界值会越低。

分类

超大质量黑洞

假如一个天体的密度为1,000千克/立方米（水在普通条件下的密度），而其质量约为1.5亿个太阳质量的话，它的史瓦西半径会超过它的自然半径，这样的黑洞被称为是超大质量黑洞。绝大多数今天观察到的黑洞的迹象来自于这样的黑洞。一般认为它们不是由星群收缩碰撞造成的，而是从一个恒星黑洞开始不断增长、与其它黑洞合并而形成的。一个星系越大其中心的超大质量黑洞也越大。

恒星黑洞

假如一个天体的密度为核密度（约10¹⁸千克/立方米，相当于中子星的密度）而其总质量在太阳质量的三倍左右则该天体会被压缩到小于其史瓦西半径，形成一个恒星黑洞。

微黑洞

小质量的史瓦西半径也非常小。一个质量相当于喜马拉雅山的天体的史瓦西半径只有一纳米。目前没有任何可以想象得出来的原理可以产生这么高的密度。一些理论假设宇宙产生时会产生这样的小型黑洞。