除法

数学中，尤其是在基本计算里，除法可以看成是“乘法的反运算”，也可以理解为“重复的减法”。除法运算的本质就是“把参与运算的除数变为$1$，得出同比的被除数的值”。

将20个苹果平均分成四等分（左上），每份有5个苹果（右下），即${{20}\div {4}}=5$；亦可以说成，将20个苹果每5个分成一份（右下），共可分成四等分（左上），此时可以表达为${{20}\div {5}}=4$

例如：${{6}\div {3}}=2$，就好像${{{6}-{3}}-{3}}=0$， ${\begin{cases}6-3=3\\3-3=0\end{cases}}$，$6$被$3$减了两次后，就变成了$0$。

如果

$a\times b=c$

而且$b$不等于零，那么

$a=c\div b$

其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。

如果除式的商数（$a$）必须是整数，则称为带余除法，$a\times b$与$c$相差的数值，称为余数（$d$）。

$c\div b=a\dots d$

这也意味着

$c=a\times b+d$

在高等数学（包括在科学与工程学中）和计算机编程语言中，$c\div b$写成$c/b$。如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用，这种形式也常常是称之为分数的最终形式。其中寻找商数的函数为$\operatorname {div}$，寻找余数的函数则为$\operatorname {mod}$。

在大部分的非英语语言中，$c:b$代表$c\div b$的比，读做c比b；$c/b$则代表$c\div b$的比值。用法请参照比例。

整除

整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数$a$可以被自然数$b$整除，是指$b$是$a$的约数，且a是b的整数倍数，也就是$a$除以$b$没有余数。

$a\div b=q\dots 0$

约数判别法可参照整除规则。

表示法

$b\mid a$表示$b$整除$a$，即$a$是$b$的倍数，$b$是$a$的因数。

举例

$15$可以被$5$整除，记作$5\mid 15$。

$20$不能被$6$整除（因为余数为$2$），记作$6\nmid 20$。在$\mid$上加一条斜线即表示不整除。

除法计算

根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。

算盘也可以做除法运算。

长除法

长除法俗称“长除”，适用于正式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中兼用了乘法和减法。

使用长除法计算${{1260257}\div {37}}=34061$的过程可以表示为：

$1260257\div 37$的演算过程

${\begin{array}{l}37\ {\big )}\\\\\\\\\\\\\\\\\end{array}}\!\!\!\!\!{\begin{array}{r}34061\\\hline \ 1260257\\111\quad \quad \\\hline 150\quad \ \ \\148\quad \ \ \\\hline 225\ \ \\222\ \ \\\hline 37\\37\\\hline 0\\\end{array}}$

短除法

短除法是长除法的简化版本。在短除法里，被除数放中央，旁以一L型符号表示除法，被除数左侧为除数，下侧为商，省去了长除法逐层计算的过程。

• 使用短除法计算$3\div 7$的近似值：

${\begin{array}{r}7\ |\!{\underline {\,\ 3.00000000000000000\dots \ }}\\0.42857142857142857\dots \ \end{array}}$

• 使用短除法计算$420$的素因数分解：

${\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\ }}\\2\ |\!{\underline {\,\ \ 210\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ 105\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 35\ }}\\7\ \end{array}}$

$420=2^{2}\times 3\times 5\times 7$

• 使用短除法计算$420,270$的最大公约数及最小公倍数：

${\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\quad 270\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ \ 210\quad 135\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 70\quad \ \ 45\ }}\\14\quad \ \ \ \ 9\ \end{array}}$

${\begin{cases}\gcd(420,270)=2\times 3\times 5=30\\\operatorname {lcm} (420,270)=2\times 3\times 5\times 14\times 9=3780\end{cases}}$

多项式的除法

主条目：综合除法

和整数之间的带余除法类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明，设有多项式$A$和非零多项式$B$，则存在唯一的多项式$Q$和$R$，满足：

$A=BQ+R$

而多项式$R$若非零多项式，则其幂次严格小于$B$的幂次。

作为特例，如果要计算某个多项式$P$除以一次多项式$X-a$得到的余多项式，可以直接将$a$代入到多项式$P$中。$P$除以$X-a$的余多项式是$P(a)$。

具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算$X^{3}-12X^{2}-42$除以$X-3$，列式如下：

${\begin{matrix}\qquad \quad \;\,X^{2}\;-9X\quad -27\\\qquad \quad X-3{\overline {\vert X^{3}-12X^{2}+0X-42}}\\\;\;{\underline {\;\;X^{3}-\;\;3X^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9X^{2}+0X\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9X^{2}+27X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27X+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}$

因此，商式是$\ X^{2}-9X-27$，余式是$\ -123$。

重要性质

通常不定义除以零这种形式。亦即当除以0 或分数的分母为0 时，该式或该数无意义。

参见

• 筹算除法
• 同余
• 余数
• 带余除法