一致估计量

在统计学中，一致估计量(Consistent Estimater)、渐进一致估计量，亦称相合估计量、相容估计量。其所表征的一致性或（相合性）同渐进正态性是大样本估计中两大最重要的性质。随着样本量无限增加，估计误差在一定意义下可以任意地小。也即估计量的分布越来越集中在所估计的参数的真实值附近，使得估计量依概率收敛于$\theta _{0}$。

{$T_{1}$, $T_{2}$, $T_{3}$, ...}是参数$\theta _{0}$的一组估计量，待估参数真值为4。随着样本量的增加该估计量序列越发集中于$\theta _{0}$的真值；而同时这些估计量是有偏的。该估计量序列的极限分布将退化为一个随机变量以概率1收敛于$\theta _{0}$。

这里定义的一致性称弱相合性。如果将概率收敛的方式改为以概率1收敛此时称强相合性。

定义

设$g(\theta )$为定义在参数空间$\Theta$上的一维数值函数，用${\widehat {T}}_{n}=T(X^{(n)})$去估计它。这里$X^{(n)}=(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n})$为样本，$n$为样本量。如果当$n\to \infty$时，估计量${\widehat {T}}_{n}$在某个意义$C$之下收敛于被估计的$g(\theta )$，则称${\widehat {T}}_{n}$是$g(\theta )$的一个意义$C$之下的相合估计。在数理统计中最常考虑的有以下三种情况：

• $C$表示依概率收敛，即是${\widehat {T}}_{n}{\overset {}{\to }}g(\theta )$，这时所定义的相合性称弱相合。

• $C$表示以概率1收敛，即是${\widehat {T}}_{n}{\overset {a.s.}{\to }}g(\theta )$，这时所定义的相合性称强相合。

• $C$表示以$r$阶矩收敛($r>0$)，即是$\mathrm {E} |{\widehat {T}}_{n}-g(\theta )|^{r}\to 0$，这时所定义的相合性称$r$阶矩相合，简称矩相合。

根据定义显然可知强相合与矩相合可推得弱相合，反之不成立。强相合与矩相合之间没有从属关系。

如果$g(\theta )=(g_{1}(\theta ),g_{2}(\theta ),\cdots ,g_{k}(\theta ))$是多维的，$\forall i\in \{1,2,\cdots ,k\}$，${\widehat {T}}_{ni}$为$g_{i}(\theta )$在某意义下的相合估计，则称估计量${\widehat {T}}_{n}=({\widehat {T}}_{n1},{\widehat {T}}_{n2},\cdots ,{\widehat {T}}_{nk})$在该意义下相合。

因此一般性讨论中可以只考虑$g(\theta )$为1维的情况。

性质

泛函不变性

设参数空间$\Theta \subset \mathbb {R} ^{k}$，$g(\theta )$为定义在开集${\widetilde {\Theta }}\subset \Theta$上的实值连续函数。若${\widehat {T}}_{n}$是$\theta$的（强/弱）相合估计，则$g({\widehat {T}}_{n})$是$g(\theta )$的（强/弱）相合估计。

该定理不适用于矩相合。

由该定理和Kolmogorov强大数定律可推知矩估计为强相合估计。

存在性的充分条件

设参数空间$\Theta \subset \mathbb {R} ^{k}$，独立同分布样本$X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}$其总体分布函数是k维分布函数$F_{\theta }(x)$。若$\forall \theta \in \Theta ,\varepsilon >0$ 有

$\inf\{\sup _{x\in \mathbb {R} ^{k}}|F_{\theta }-F_{\varphi }|:\varphi \in \Theta ,\|\theta -\varphi \|>\varepsilon \}>0$

则$\theta$的强相合估计存在。

存在性的一个必要条件

设参数空间$\Theta \subset \mathbb {R} ^{k}$，独立同分布样本$X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}$其总体分布函数是k维分布函数$F_{\theta }(x)$。若$\theta$的相合估计存在，且$\theta \neq \varphi \in \Theta$时，$F_{\theta }\neq F_{\varphi }$。

存在性的充要条件

至今没有得到回答。

参考文献

• 盛, 骤; 谢, 式千; 潘, 承毅. 概率论与数理统计（第四版）. 高等教育出版社. 2008. ISBN 978-7-04-023896-9. 
• Lehmann, E. L.; Casella, G. Theory of Point Estimation 2nd. Springer. 1998. ISBN 0-387-98502-6. 
• 陈, 希孺. 高等数理统计学. 中国科学技术大学出版社. 2009. ISBN 978-7-312-02281-4. 
• Nikulin, M. S., Consistent estimator, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4