向量测度

向量测度（vector measure）是数学名词，是指针对集合族定义的函数，其值为满足特定性质的向量。向量测度是测度概念的推广，测度是针对集合定义的函数，函数的值只有非负的实数。

定义及相关推论

给定集合域 $(\Omega ,{\mathcal {F}})$及巴拿赫空间 $X$，有限加性向量测度（finitely additive vector measure）简称测度，是一个满足以下条件的函数$\mu :{\mathcal {F}}\to X$：针对任二个${\mathcal {F}}$内的不交集$A$和$B$，下式均成立：

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).$

向量测度$\mu$称为可数加性（countably additive）若针对任意${\mathcal {F}}$内不交集形成的序列 $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$，都可以让${\mathcal {F}}$内的联集满足以下条件

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})$

等号右边的级数会收敛到巴拿赫空间$X$的范数。

可以证明向量测度$\mu$有可数加性，若且唯若针对任何以上的序列$(A_{i})_{i=1}^{\infty }$，下式均成立

$\lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0,\qquad \qquad (*)$

其中$\|\cdot \|$是$X$的范数。

在Σ-代数中定义的可数加性向量测度，会比有限测度（测度的值为非负数）、有限有号测度（测度的值为实数）及复数测度（测度的值为复数）要广泛。

举例

考虑一个由$[0,1]$区间的集合形成的场，以及此区间内所有勒贝格测度形成的族${\mathcal {F}}$。针对任意集合$A$，定义

$\mu (A)=\chi _{A}$

其中$\chi$是$A$的指示函数。依$\mu$的定义不同，会得到不同的结果。

• $\mu$若是从${\mathcal {F}}$到Lp空间 $L^{\infty }([0,1])$的函数，$\mu$是没有可数加性的向量测度。
• $\mu$若是从${\mathcal {F}}$到L^p空间 $L^{1}([0,1])$的函数，$\mu$是有可数加性的向量测度。

依照上一节的判别基准(*)可以得到以上的结果。

向量测度的变差

给定向量测度$\mu :{\mathcal {F}}\to X,$，其变差（variation）$|\mu |$定义如下

$|\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|$

其中最小上界是针对所有${\mathcal {F}}$中$A$，所有将$A$划分到有限不交集的划分

$A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$

此处，$\|\cdot \|$为$X$的范数。

$\mu$的变差是有限可加函数，其值在$[0,\infty ]$之间，会使下式成立

$\|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)$

针对任意在${\mathcal {F}}$内的$A$。若$|\mu |(\Omega )$是有限的，则测度$\mu$有有界变差（bounded variation）。可以证明若$\mu$为具有有界变差的向量测度，则$\mu$具有可数加性若且唯若$|\mu |$具有可数加性。

李亚普诺夫定理

在向量测度的理论中，李亚普诺夫的定理提到non-atomic 向量测度的值域是闭集及凸集 。而且non-atomic 向量测度的值域是高维环面（zonoid，是闭集及凸集，是环带多面体收敛序列的极限）。李亚普诺夫定理有用在数理经济学、起停式控制的控制理论及统计理论。 李亚普诺夫定理已可以用沙普利－福克曼引理证明，后者可以视为是李亚普诺夫定理的离散化版本 。

参考资料

书籍

• Cohn, Donald L. Measure theory reprint. Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag. 1997: IX+373 [1980]. ISBN 3-7643-3003-1. Zbl 0436.28001. 
• Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. Vector measures. Mathematical Surveys 15. Providence, R.I: American Mathematical Society. 1977: xiii+322. ISBN 0-8218-1515-6. 
• Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.
• van Dulst, D., Vector measures, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Rudin, W. Functional analysis. New York: McGraw-Hill. 1973: 114. 

相关条目

• 博赫纳积分