音乐同构

在数学中，特别是黎曼几何跟微分流形的理论里，音乐同构（Musical isomorphism 或典范同构 canonical isomorphism）是指（伪）黎曼流形 M 的切丛 TM 与余切丛 $T^{*}M$ 之间的同构，这个同构由黎曼度量给出。不过一般地，只要流形的切丛上有一个处处非退化的双线性形式（比如辛流形上的辛形式）便可定义这样的同构。在带有内积（或更一般的，非退化的双线性形式）的有限维向量空间 ${\textstyle V}$，这些同构自然给出了 $V$ 和其对偶空间 $V^{*}$ 之间的同构，在这种情况一般称这些映射为典范同构（canonical isomorphosm）。

这些运算在流形上的张量场理论里也称为指标的上升和下降。

正式定义

黎曼流形 M 的黎曼度量 $g=\sum _{ij}g_{ij}dx^{i}\otimes dx^{j}$ 是一个二阶的对称、正定张量场 $g\in {\mathcal {T}}_{2}^{0}(M)$。在任意一点 x∈M，黎曼度量会诱导出一个映射 ${\widehat {g}}_{x}$

${\widehat {g}}_{x}:T_{x}M\longrightarrow T_{x}^{*}M$

这映射给了点 $x$的切空间跟馀切空间之间的一个线性同构，对任何切向量 X_x 属于 T_xM，定义

${\widehat {g}}_{x}(X_{x})=\langle X_{x},\cdot \rangle \in T_{x}^{*}M\ ,$

其中符号 $\langle \,,\rangle$ 代表 流形上的黎曼度量。这意味着，

${\widehat {g}}_{x}(X_{x})(Y_{x})=\langle X_{x},Y_{x}\rangle \ .$

这些线性映射的集合定义了一个丛同构

${\widehat {g}}:TM\longrightarrow T^{*}M\ ,$

这是一个特别的微分同胚，在每个切空间上为线性映射。在截面的层次上即是切向量场到余切向量场的同构。在一个局部坐标 $(U,x)$下，设度量矩阵为 $(g_{ij})$，逆矩阵为 $(g^{ij})$，向量场$X=\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$　。则这个同构会将$X$映射到

${\widehat {g}}:\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\mapsto \alpha ^{i}g_{ij}d\,x^{j}\ .$

这里使用了爱因斯坦求和约定。

以上同构称为降号音乐同构（flat）用符号$^{\flat }$表示，例如以上的函数${\widehat {g}}$可表示成：$(\sum _{i}\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}})^{\flat }=\sum _{ij}\alpha ^{i}g_{ij}d\,x^{j}$；而其逆运算称为升号（sharp）用符号$^{\sharp }$表示：降号下降指标，升号上升指标，(Gallot, Hullin & Lafontaine 2004，第75页)。升号用局部坐标表示为：

${\widehat {g}}^{-1}:\xi =\alpha _{i}d\,x^{i}\mapsto \alpha _{i}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\ .$

这两个同构的核心是 g 为处处非退化的双线性形式，任何一个非退化的双线性形式都可给出类似的同构，对伪黎曼流形、辛流形也有类似的同构。在辛几何中，这个同构非常重要，哈密顿向量场便是由这个同构导出的。

名称由来

同构 ${\widehat {g}}$ 与其逆 ${\widehat {g}}^{-1}$ 称为“音乐同构”是因为是因为常常用两种音乐符号 $\flat ,\sharp$来代替这些同构，比如 ${\widehat {g}}(X)$ 会写成 $X^{\flat }$，${\widehat {g}}^{-1}(\omega )$ 会写成 $\omega ^{\sharp }$，它们将指标向下、向上移动。例如，流形上的向量场 $\textstyle X=\sum _{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ 经过 $\flat$ 映射会变成馀向量场：

$(\sum _{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}})^{\flat }=\sum _{ij}g_{ij}X^{i}dx^{j}:=\sum _{j}X_{j}dx^{j}\ ,$

这里$\flat$将$\sum _{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$映射到$\sum _{j}X_{j}dx^{j}$，系数的指标从上到下，所以这运算用降号符号$\flat$表示。

而馀向量 $\omega =\sum _{i}\omega _{i}dx^{i}$，经过 $\sharp$ 运算会变成向量

$(\sum _{i}\omega _{i}dx^{i})^{\sharp }=\sum _{ij}g^{ij}\omega _{i}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\ ,$

所以指标向下、向上移动好似符号降号（$\flat$）与升号（$\sharp$）下降与上升一个半音的音高(Gallot, Hullin & Lafontaine 2004，第75页)。

梯度、散度与旋度

音乐同构可以用来定义 $\mathbb {R} ^{3}$ 上无坐标形式的梯度、散度与旋度：

${\begin{aligned}\nabla f&=\left({\mathbf {d} }f\right)^{\sharp }\\\nabla \cdot F&=\star {\mathbf {d} }\star (F^{\flat })\\\nabla \times F&=\left[\star {\mathbf {d} }(F^{\flat })\right]^{\sharp }\end{aligned}}$

这里 $f,F$ 分别是 $\mathbb {R} ^{3}$ 里的函数跟向量场，$\star$ 是霍奇星号算子(Marsden & Raţiu 1999，第135页)。不难验证这与通常坐标形式的定义是一致的。第一个等式对更一般的黎曼流形上的光滑函数也成立。而在辛流形上，第一个等式便定义了以 f 为哈密顿量的哈密顿向量场。

此外，值得指出的是可用音乐同构和霍奇星号算子把叉积与外积联系起来，设 v 与 w 是 $\mathbb {R} ^{3}$ 中向量场，容易证明

$\mathbf {v} \times \mathbf {w} =\left[\star \left(\mathbf {v} ^{\flat }\wedge \mathbf {w} ^{\flat }\right)\right]^{\sharp }.$

参考文献

• Gallot, Sylvestre; Hullin, Dominique; Lafontaine, Jacques, Riemannian Geometry 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-20493-0 .
• Marsden, Jerrold E.; Raţiu, Tudor S., Introduction to Mechanics and Symmetry 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98643-2 .