e的π次方

$e^{\pi }\,$又称格尔丰德常数（英语：Gelfond's constant）是一个数学常数。与e和π一样，它是一个超越数。这可以用格尔丰德-施奈德定理来证明，并注意到：

e的π次方

e的π次方
命名
名称	格尔丰德常数
识别
种类	无理数 超越数
符号	$e^{\pi }$
位数数列编号	A039661
性质
连分数	[23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, 1, 16, 1, 30, 1, 1, 4, 1, 2, 108 ...]
以此为根的多项式或函数	$x^{i}+1=0$
表示方式
值	23.140692632779269 $e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i},$ $e^{\pi }=(-1)^{\tfrac {1}{i}}={\sqrt[{i}]{-1}}$ $e^{\pi }=(i)^{(-2i)}$ $e^{\pi }={{1} \over {(i^{i})^{2}}}$
二进制	10111.001001000000010001101110…
十进制	23.140692632779269005729086…
十六进制	17.24046EB093399ECDA7489F9A…

$e^{\pi }\;=\;(e^{i\pi })^{-i}\;=\;(-1)^{-i}$

其中i是虚数单位。由于−i是代数数，但肯定不是有理数，因此e^π是超越数。这个常数在希尔伯特第七问题中曾提到过。一个相关的常数是$2^{\sqrt {2}}$，又称为格尔丰德-施奈德常数。相关的值$\pi +e^{\pi }\,$也是无理数。

数值

在十进制中，e^π大约为

${{e}^{\pi }}\approx 23.140692632779\dots \,.$

它的值可以用以下迭代来求出。定义

$k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}$

其中$\scriptstyle k_{0}\,=\,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.$

则

$\left({\frac {4}{k_{N}}}\right)^{2^{1-N}}$

迅速收敛于$e^{\pi }$。

几何中的独特之处

n维球体的体积由以下公式给出：

$V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}.$

所以，任何一个偶数维的单位球具有体积：

$V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}.$

把所有偶数维的单位球的体积加起来，得出：

$\sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=e^{\pi }.\,$

相似或相关的常数

拉马努金常数

$e^{\pi {\sqrt {163}}}=({\text{格 爾 豐 德 常 數 }})^{\sqrt {163}}$

即所谓的拉马努金常数，是黑格纳数的一个应用，其中 的 163 是问题中用到的黑格纳数。

同 e^π - π 一样，e^π√163 非常接近整数：

$e^{\pi {\sqrt {163}}}=$ 7017262537412640768♠262537412640768743.9999999999992500725971981856888793538563373369908627075374103782106479101186073129... $\approx 640\,320^{3}+744$

虽然这个数是由法国数学家夏尔·埃尔米特在 1859 年所发现，但印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金第一个预测它非常接近整数，因而以他为名。

这种非常近似于 640320³ + 744 的巧合，可以用 j-invariant的复数乘法及q展开来表示。

$j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}$

且

$(-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)$

而 O(e^-π√163) 是误差项。

${\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}$

这解释了为何 e^π√163 比 640320³ + 744 小了 0.000 000 000 000 75 。（这个证明的细节，可以参考黑格纳数）。

数 e^π - π

由 A018938 所给出 e^π - π 的十进位表示为

$e^{\pi }-\pi =$ 7001199990999791894♠19.9990999791894757672664429846690444960689368432251061724701018172165259444042437848889371717254321516...

尽管这个数非常接近正整数 20 ，但目前没有关于这个现象的解释；因此，被认为是一种数学巧合。

数 π^e

由 A059850 给出的 π^e 十进位表示为：

$\pi ^{e}=$ 7001224591577183610♠22.4591577183610454734271522045437350275893151339966922492030025540669260403991179123185197527271430315...

目前还不知此数是否是超越数。

须注意的是，根据 格尔丰德-施奈德定理，只有在 a 是代数数，而 b 是非有理数（a，b 都是复数，且 a ≠ 0, a ≠ 1）的情况下，a^b 才为超越数。

之所以可以证明 e^π 是超越数，其原因在于复数的指数形式，因为 π 可以被视为复数 e^π 的模，而根据 (-1)^-i 的等式，才可以使用 格尔丰德-施奈德定理 。

π^e 则没有如此的等式，所以，尽管 π 和 e 都是超越数，但我们不能由此说 π^e 是超越数。

数 e^π - π^e

如同 π^e，我们仍不知 e^π - π^e 是否是超越性质的。甚至，目前还没有证明说它是无理数：

由 A059850 给出的 e^π - π^e 十进位表示为：

$e^{\pi }-\pi ^{e}=$ 6999681534914418223♠0.6815349144182235323019341634048123526767911086035197442420438554574163102913348711984522443404061881...

数 iⁱ

$i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}$

由 A059850给出的 iⁱ 十进位表示为：

$i^{i}=$ 6999207879576350761♠0.2078795763507619085469556198349787700338778416317696080751358830554198772854821397886002778654260353...

因为上述等式，可用格尔丰德-施奈德定理证明格尔丰德常数的平方根倒数也是超越的：

i 是代数数，但同时不是有理数，由此iⁱ 是超越数。

参见

• 格尔丰德-施奈德常数
• 格尔丰德-施奈德定理
• 希尔伯特第七问题

外部链接

• MathWorld（页面存档备份，存于互联网档案馆）