別雷定理

數學上，別雷定理（英語：Belyi's theorem）是有關代數曲線的定理，指出任何用代數數係數定義的非奇異（英語：non-singular）代數曲線C，都代表這樣的一個緊黎曼曲面（英語：Compact Riemann surface），這黎曼曲面能作為黎曼球面的分歧覆蓋（英語：ramified covering），且只有三個分歧點。

這定理是根納季·別雷（英語：G. V. Belyi）1979年的結果。這個結果當時令人大感意外，激發格羅滕迪克發展出dessin d'enfant（英語：dessin d'enfant）理論，使用組合數學資料描述代數數上的非奇異代數曲線。

格羅滕迪克曾在《Esquisse d'un Programme（英語：Esquisse d'un Programme）》評價這定理說：「不到一年後，在赫爾斯基的國際數學家大會中，蘇聯數學家別雷宣佈了正正這個結果，證明令人困惑地簡單，德利涅一封信的兩小頁也容得下。毫無疑問，從未有一個深刻且令人迷惑的結果，如此短短數行就證明出來！」^[1]

上半平面的商

從上推導出這樣的黎曼曲面可以取作

H / Γ

其中H是上半平面，Γ是模群（英語：modular group）的有限指數子群，曲面用尖點緊化。因為模群有非同餘子群（英語：non-congruence subgroup），故此不可以作結論說任何這樣的曲線都是模曲線。

別雷函數

別雷函數是從緊黎曼曲面S到複射影直線P¹(C)的全純映射，僅在三點分歧，這三點可以經由莫比烏斯變換取為 $\{0,1,\infty \}$ 。別雷函數可以用dessin d'enfant給出組合數學描述。

別雷函數和dessin d'enfants（但不是別雷定理）至少可以追溯到菲利克斯·克萊因的工作。他用了這些概念去研究複射影直線的一個11重覆蓋，其單射群（英語：monodromy group）為PSL(2,11)。^[2](Klein 1879)

應用

別雷定理證明了別雷函數的存在性。這定理常應用於伽羅瓦逆問題（英語：inverse Galois problem）。

參考

^ A. Grothendieck. Esquisse d'un Programme (PDF): p.17. ^{[永久失效連結]}
^ le Bruyn, Lieven, Klein’s dessins d’enfant and the buckyball, 2008 [2015-03-20], （原始內容存檔於2014-08-12） .

Serre, J.-P. (1989), Lectures on the Mordell-Weil Theorem, p. 71
Felix Von Klein. Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen. Mathematische Annalen. 1879-09-01, 15 (3-4): 533–555 [2018-04-02]. ISSN 0025-5831. doi:10.1007/bf02086276. （原始內容存檔於2018-06-18）（德語）.
G V Belyĭ. ON GALOIS EXTENSIONS OF A MAXIMAL CYCLOTOMIC FIELD. Mathematics of the USSR-Izvestiya: 247–256. [2018-04-02]. doi:10.1070/im1980v014n02abeh001096. （原始內容存檔於2018-06-01）.

參看

Girondo, Ernesto; González-Diez, Gabino, Introduction to compact Riemann surfaces and dessins d'enfants, London Mathematical Society Student Texts 79, Cambridge: Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-0-521-74022-7, Zbl 1253.30001
Wushi Goldring, Unifying themes suggested by Belyi's Theorem, Dorian Goldfeld; Jay Jorgenson; Peter Jones; Dinakar Ramakrishnan; Kenneth A. Ribet; John Tate (編), Number Theory, Analysis and Geometry. In Memory of Serge Lang, Springer: 181–214, 2012, ISBN 978-1-4614-1259-5

[1] A. Grothendieck. Esquisse d'un Programme (PDF): p.17. ^{[永久失效連結]}

[2] Bruyn, Lieven, Klein’s dessins d’enfant and the buckyball, 2008 [2015-03-20], （原始內容存檔於2014-08-12） .

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