格拉姆矩陣

在線性代數中，內積空間中一族向量 $v_{1},\dots ,v_{n}$ 的格拉姆矩陣（Gramian matrix、Gram matrix 或 Gramian）是內積的埃爾米特矩陣，其元素由 $G_{ij}=\langle v_{i},v_{j}\rangle$ 給出。

一個重要的應用是計算線性獨立：一組向量彼此線性獨立當且僅當格拉姆行列式（格拉姆矩陣的行列式）不等於零。

例子

最常見地，向量是歐幾里得空間中元素，或 L² 空間中函數，比如閉區間 [a, b] 上的連續函數（是 L²（[a, b]）的子集）。

給定區間 $[t_{0},t_{f}]$ 上的實數值函數 $\{\ell _{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}$ ，格拉姆矩陣 $G=[G_{ij}]$ ，由函數的標準內積給出：

G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}\ell _{i}(\tau )\ell _{j}(\tau )\,d\tau .

給定一個實矩陣 A，矩陣 A^TA 是 A 的列向量的格拉姆矩陣，而矩陣 AA^T 是 A 的行向量的格拉姆矩陣。

對一般任何域上的有限維向量空間上的雙線性形式 B，我們可對一組向量 $v_{1},\dots ,v_{n}$ 定義一個格拉姆矩陣 G 為 $G_{i,j}=B(v_{i},v_{j})\,$ 。如果雙線性形式 B 對稱則該格拉姆矩陣對稱。

格拉姆矩陣是半正定的，反之每個半正定矩陣是某些向量的格拉姆矩陣。這組向量一般不是惟一的：任何正交基的格拉姆矩陣是單位矩陣。

這個命題無窮維類比是Mercer定理（英語：Mercer's theorem））。

在一個由可逆矩陣 P 表示的基變換下，格拉姆矩陣是用 P 做一個矩陣合同變為 P^TGP。

格拉姆行列式（Gram determinant 或 Gramian）是格拉姆矩陣的行列式：

G(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}\langle x_{1},x_{1}\rangle &\langle x_{1},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{1},x_{n}\rangle \\\langle x_{2},x_{1}\rangle &\langle x_{2},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{2},x_{n}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle x_{n},x_{1}\rangle &\langle x_{n},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{n},x_{n}\rangle \end{vmatrix}}.

在幾何上，格拉姆行列式是這些向量形成的平行多面體的體積之平方。特別地，這些向量線性無關當且僅當格拉姆行列式不為零（當且僅當格拉姆矩陣非奇異）。