交叉項

在線性代數中，若二次型（quadratic form）中的項並非平方項，也就是說包含超過一個變量，這個項被稱為交叉項（cross-term）。

在訊號處理領域中，交叉項通常指的是該項包含了兩個以上的元素（訊號），與之相對的則是自身項（auto-term），自身項中只包含一個元素。

通常在進行時頻分析時，我們都會希望盡量避免交叉項的產生，因為交叉項會使得多個訊號疊加的時頻分佈的圖形變得難以解讀，不同訊號之間也會難以分離。

線性代數中的交叉項

令 $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $n$ 是自然數，假設我們要展開 $(x+y)^{T}(x+y)$ ，則經過計算可以得到：

${\begin{aligned}(x+y)^{T}(x+y)&=x^{T}x+y^{T}x+x^{T}y+y^{T}y\\&=||x||^{2}+2(x\cdot y)+||y||^{2}\end{aligned}}$

其中 $||x||^{2}$ 和 $||y||^{2}$ 都屬於自身項，因為它們分別只包含了一個變量； $2(x\cdot y)$ 則是交叉項，因為它包含了 $x$ 和 $y$ 兩個元素。

韋格納分佈中的交叉項

韋格納分佈的定義如下：

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau$

其中 $x$ 代表原始訊號、 $t$ 是轉換後的時間軸座標、 $f$ 是轉換後的頻率軸座標。若我們設 $x(t)=\alpha g(t)+\beta s(t)$ ，並將韋格納分佈的公式展開如下：

${\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}\alpha g(t+{\frac {\tau }{2}})+\beta s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big ]}{\big [}\alpha ^{*}g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\beta ^{*}s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}}){\big ]}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}|\alpha |^{2}g(t+{\frac {\tau }{2}})g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+|\beta |^{2}s(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})\\&\quad +\alpha \beta ^{*}g(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\alpha ^{*}\beta g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big ]}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=|\alpha |^{2}W_{g}(t,f)+|\beta |^{2}W_{s}(t,f)\\&\quad +\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}\alpha \beta ^{*}g(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\alpha ^{*}\beta g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big ]}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\\end{aligned}}$

其中 $W_{g}$ 和 $W_{s}$ 就是自身項，剩下的積分項就是交叉項。

參見

Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2021.