伯恩施坦問題

微分幾何中，伯恩施坦問題如下：如果在Rⁿ⁻¹上的函數圖象是Rⁿ中的極小曲面，那麼函數是否必然是線性函數？這個結果在維數n不大於8時成立，但n不小於9時不成立。這條問題是以俄羅斯數學家謝爾蓋·納塔諾維奇·伯恩施坦命名，他在1914年解出了n = 3的情形。

問題

設f是一個有n - 1個實變數的函數。f的圖象是Rⁿ中的曲面。這曲面的極小曲面條件，就是f滿足極小曲面方程

$\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n-1}({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}})^{2}}}}=0$

伯恩施坦問題是指，如果一個在整個Rⁿ⁻¹上有定義的函數f符合這條方程，f是否必然是一次多項式。

歷史

Bernstein (1915–1917)證明了伯恩施坦定理：一個在R²上的實函數的圖象如果是R³中極小曲面，這曲面必定是平面。

Fleming (1962)給出了伯恩施坦定理的新證明，用了R³中沒有非平面的面積最小化錐的結果推斷出定理。

De Giorgi (1965)證明了如果Rⁿ⁻¹中沒有非平面的面積最小化錐，那麼伯恩施坦定理的類似結果在Rⁿ成立，特別是這結果可以推出定理在R⁴中成立。

Almgren (1966)證明了R⁴中沒有非平面的面積最小化錐，將伯恩施坦定理推廣到R⁵。

Simons (1968)證明了R⁷中沒有非平面的面積最小化錐, 將伯恩施坦定理推廣到R⁸。他也給出了R⁸中的局部穩定錐的一些例子，並問這些例子是否整體面積最小化。

Bombieri, De Giorgi & Giusti (1969)證明了詹姆斯·西蒙斯的錐確實是整體最小化的，並證明了Rⁿ對於n≥9時，有圖象是極小曲面但不是超平面。連同西蒙斯的結果，這顯示了伯恩施坦定理的類似結果，在維數上到8時是對的，在更高維數是錯的。

參考

• Almgren, F. J., Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of Bernstein's theorem, Annals of Mathematics. Second Series, 1966, 84: 277–292, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970520, MR 0200816 
• Bernstein, S.N., Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique, Comm. Soc. Math. Kharkov, 1915–1917, 15: 38–45  German translation in Bernstein, Serge, Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus, Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg), 1927, 26: 551–558, ISSN 0025-5874, doi:10.1007/BF01475472 （德語） 
• Bombieri, Enrico; De Giorgi, Ennio; Giusti, E., Minimal cones and the Bernstein problem, Inventiones Mathematicae, 1969, 7: 243–268, ISSN 0020-9910, MR 0250205, doi:10.1007/BF01404309 
• De Giorgi, Ennio, Una estensione del teorema di Bernstein, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 1965, 19: 79–85 [2015-05-17], MR 0178385, （原始內容存檔於2015-06-16） 
• Fleming, Wendell H., On the oriented Plateau problem, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II, 1962, 11: 69–90, ISSN 0009-725X, MR 0157263, doi:10.1007/BF02849427 
• Sabitov, I.Kh., Bernstein theorem, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Simons, James, Minimal varieties in riemannian manifolds, Annals of Mathematics. Second Series, 1968, 88: 62–105, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970556, MR 0233295 
• Straume, E., Bernstein problem in differential geometry, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

外部連結

• Encyclopaedia of Mathematics article on the Bernstein theorem（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）