元數學

元數學（英語：Metamathematics），又譯為超數學，使用數學技術來研究數學本身的一門學科。一般來說，元數學是一種將數學作為人類意識和文化客體的科學思維或知識。更進一步來說，元數學是一種用來研究數學和數學哲學的數學。「數學的數學」是於19世紀初由通常的數學分離出來的，它最初研究的對象是在所謂的數學危機。將二者混為一談會導致一些矛盾，典型例子有理查德悖論。

比如說，元數學的主題之一就是：分析某些數學要素是否在任意的數學系統中都是可證實或者證偽的。

許多關於數學基礎與數學哲學的論說都涉及元數學的概念，它們往往不能被當作我們通常所說的「問題」來處理。元數學的基本假設是：數學的內容可以由一個形式系統獲得，比如一個序理論或一個公理化集合論。

元數學與數理邏輯休戚相關，因而這兩者的發展也大同小異。元數學的發端大概要追溯到弗雷格的工作：《概念文字》。大衛·希爾伯特首先引進了帶有正則性的「元數學」（metamathematics with regularity）這一說法（見希爾伯特計劃）。這也就是現在所說的證明論。另一個重要的現代分支是模型論。這一領域的其他重要人物有：伯特蘭·羅素，斯科爾姆（Thoralf Skolem），普斯特（Emil Post），邱奇，克萊尼，蒯因，貝納瑟拉夫（Paul Benacerraf），普特南，柴汀（Gregory Chaitin），以及最著名的塔斯基和哥德爾。特別地，哥德爾證明了：給定任意有限多條皮亞諾算術的公理，都存在一些正確的命題，無法用所給公理來證明，即所謂的哥德爾不完備定理。某種意義上來說，這一結果是迄今為止元數學與數學哲學的最高成就。

參考資料

• Douglas Hofstadter, 1980. 《哥德爾、埃舍爾、巴赫》. Vintage Books. Aimed at laypeople.
• Stephen Cole Kleene, 1952. 《Introduction to Metamathematics》. North Holland. Aimed at mathematicians.