黎曼級數定理

黎曼級數定理（亦稱黎曼重排定理），是一個有關於無窮級數性質的數學定理，得名於19世紀德國著名數學家波恩哈德·黎曼。黎曼級數定理說明，如果一個實數項無窮級數若是條件收斂的，它的項在重新排列後，重新排列後的級數收斂的值可以收斂到任何一個給定的值，甚至發散。

許多有限項級數具有的性質，在一般的無窮級數不一定滿足，例如一般的有限項級數可以重新排列各項，其級數和不會改變，但在無窮級數中，只有絕對收斂的無窮級數才可以重新排列各項而不改變收斂值。

相關定義

給定無窮級數$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$，其部分和為：$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$。如果部分和的數列

$\left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}$

收斂於某個數值：$\ell$，則級數收斂。也就是說，如果對於任何的$\epsilon >0$，總存在一個整數N，使得如果$n\geq N$，則

$\left|S_{n}-\ell \right\vert \leq \ \epsilon$.

那麼級數$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$收斂。如果級數$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$收斂，但級數$\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right\vert$發散，則稱此級數是條件收斂的。

定理的陳述

假設$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$是一個條件收斂的無窮級數。對任意的一個實數$C$，都存在一種從自然數集合到自然數集合的排列$\sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)$，使得

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.$

此外，也存在另一種排列$\sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)$，使得

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .$

類似地，也可以有辦法使它的部分和趨於$-\infty$，或沒有任何極限。

反之，如果級數是絕對收斂的，那麼無論怎樣重排，它仍然會收斂到同一個值，也就是級數的和。

例子

交錯調和級數是條件收斂級數的一個經典的例子：

$A_{h}=\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

收斂，而

$S_{h}=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}$

是調和級數，它是發散的。雖然在標準的表示法中，交錯調和級數收斂於ln(2)，我們可以把它的項重新排列，使它收斂於任何一個數，甚至發散。例如，如果排列為以下的形式，

$\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots$

那麼這時的和等於$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}-{\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

可以看出，它的和是原來的和的一半。

趨近任一個實數

將交錯調和級數重排趨向1.5的步驟：從1開始，將正項按順序相加，直到超過1.5（紅點處），然後加入負項，直到低於1.5（綠點），再開始累加正項……

用不同的排列方法，可以讓交錯調和級數趨向任意一個給定的實數。事實上，由於調和級數$\sum _{n}{\frac {1}{n}}$是發散的，它的部分和可以近似估計為：

$S_{N}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\gamma +\ln N+o(1),$

其中$o(1)$表示一個當N趨於無窮大時的無窮小，$\gamma$指歐拉常數。如果將調和級數$A_{h}$中所有負項（也就是所有偶數項）相加，得到的級數會是：

$A_{h}^{-}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\cdots =-{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)$

它的部分和是：

$A_{N}^{-}=-\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2n}}=-{\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{2}}\ln N+o(1),$

因此所有正項相加的級數$A_{h}^{+}=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots$的部分和是：

$A_{N}^{+}=A_{N}-A_{N}^{-}=\ln 2+{\frac {1}{2}}\left(\gamma +\ln N\right)+o(1),$

這也是一個發散級數，趨向正無窮。因此，對任意給定的正實數$C$，可以使用以下的算法來構造出趨向$C$的重排級數$A^{\sigma }$的每一項：

1. 從第一項起，將$A_{h}$中的正項（奇數項）從前往後放入，一直放到超過$C$為止：必定存在一個自然數$N_{1}$，使得$A_{N_{1}-1}^{+}\leqslant C+<A_{N_{1}}^{+}$（假設$A_{0}=0$）。將第1至第$N_{1}$項定義為：

   $\forall k=1,2,\cdots ,N_{1},\,\,\sigma (k)=2k-1$

2. 從第$N_{1}+1$項開始，將$A_{h}$中的負項（偶數項）從前往後放入，一直放到小於$C$為止：必定存在一個自然數$N_{2}>N_{1}$，使得$A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}-1}^{-}\leqslant C+<A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}}^{-}$。將第$N_{1}+1$至第$N_{2}$項定義為：

   $\forall k=N_{1}+1,N_{1}+2,\cdots ,N_{2},\,\,\sigma (k)=2k-2N_{1}$

交替重複這兩步來重排級數，可以將重排級數的部分和$A_{N_{k}}^{\sigma }$保持在$C$上下，而因為$A_{N_{k}}^{\sigma }$是重複第k步時首次「跨過」$C$時候的值，因而它與$C$的差距必定不超過「跨越」時的「步長」，也就是${\frac {1}{N_{k}}}$。隨着$N_{k}$越來越大，$A_{N_{k}}^{\sigma }$與$C$的差距也會越來越趨近於0. 因此使用這個算法構造出來的重排級數$A^{\sigma }$最終會收斂於$C$。

證明

對一般的條件收斂級數，也可以用以上的算法來證明黎曼級數定理。上文中有關交錯調和級數的算法之所以成立，原因有二：首先，所有正項構成的級數發散到正無窮大，所有負項構成的級數發散到負無窮大，所以每次超出（低於）目標值$C$以後，只要不停地累加，必然能夠再次低於（超出）目標值$C$；其次，調和級數是由${\frac {1}{n}}$相加而成，而隨着$n$趨向無窮，${\frac {1}{n}}$趨向於0，也就是說「步長」趨向0，所以最終能夠收斂。所以只需要證明，任何條件收斂級數都滿足這兩個性質：

1. 所有正項構成的級數和所有負項構成的級數都是發散的；
2. 級數的項隨着項數趨於無窮而趨於0.

就能證明黎曼級數定理成立了。

性質一：

設有給定的條件收斂級數$A=\sum _{n}a_{n}$，級數和為$S$。為了簡便起見，假設$A$中每一項都不等於0（否則可以隨意將它們重排在任何地方）。$A$中的正項和負項必定都有無窮多個。將$A$中所有大於0的項按照它們原來在$A$中的順序重新標號排列，可以得到由所有正項排列而成的級數$A^{+}=\sum _{n}a_{n}^{+}$。同樣可以建立由所有負項排列而成的級數$A^{-}=\sum _{n}a_{n}^{-}$。

$A^{+}$是一個正項級數，所以它要麼收斂到某個定值，要麼發散到正無窮大。假設$A^{+}$收斂到某個定值$S^{+}$，那麼可以證明$A^{-}$也是收斂級數，級數和為$S-S^{+}$。因而可以證明，級數$\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=A^{+}-A^{-}$也是收斂級數，這與$A$是條件收斂級數的設定矛盾。所以，$A^{+}$發散到正無窮大。同理可證，$A^{-}$發散到負無窮大。

性質二：

設$A=\sum _{n}a_{n}$是一個條件收斂的級數，級數和為$S$。這說明，級數$A$的部分和$S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}$趨向極限$S$。所以對任意$\epsilon >0$，存在自然數$M>0$使得對任意$N>M$，都有：

$|S_{N}-S|<\epsilon .$

所以對任意$N>M+1$，

$|a_{N}|=|S_{N}-S_{N-1}|\leqslant |S_{N}-S|+|S_{N-1}-S|<2\epsilon .$

這說明當$N$趨於無窮大時，$a_{N}$趨於0.

證明了性質一與性質二後，就可以用上文提到的算法構造趨向任何實數甚至發散的重排方式。對於任意實數$C$，不妨假設$C\geqslant 0$. 首先將$A^{+}$的項按順序累加，直到部分和超過$C$為止，然後再將$A^{-}$的項按順序累加在其後，直到部分和小於$C$為止，接着再將$A^{+}$剩餘的項按順序累加在其後，直到部分和超過$C$為止……這個算法可以一直進行下去，因為根據性質一，$A^{+}$和$A^{-}$都是發散的。而在執行算法的過程中，部分和與$C$會越來越接近。因為無論是在部分和低於$C$，逐項增加到超過$C$的過程中，還是在部分和超過了$C$，逐項減少到低於$C$的過程中，部分和與$C$的差距（絕對值）都不超過前一次「跨越」$C$值的那一刻，部分和與$C$的差距。而這個差距又小於等於部分和「跨越」$C$值時的「步長」。假設第$k$次「跨越」的是在累加第$N_{k}$項的時候發生的，那麼直到第$k+1$次「跨越」時，部分和與$C$的差距都小於等於$a_{N_{k}}$。隨着$k$趨於無窮大，$N_{k}$也趨於無窮大，因而根據性質二，$a_{N_{k}}$趨於0，也就是說部分和與$C$的差距趨於0。這等價於說重排後的級數$A^{\sigma }$收斂於$C$。

如果$C<0$，只需要將算法中的正負項顛倒即可。如果將算法中第$k$次累加正項要超越的值從$C$改為$C+k$，然後累加負項直到低於$C+k$，再開始第$k+1$次累加正項直到超越$C+k+1$，如此以往，就能得到發散到正無窮大的重排級數。反之也能得到發散到負無窮大的重排級數。而如果將算法中每次累加正項要超過的值設為1，將每次累加負項要低於的值設為0，那麼重排級數的值將在0和1左右上下反覆擺動，從而不收斂於任何定值。這就是黎曼級數定理。

推廣

此定理可推廣至斯坦尼茲定理。給定一個複數收斂級數∑ a_n，則重排後的級數∑ a_σ (n)之和有以下幾種可能：

• 級數∑ a_n為絕對收斂，所以任何重排後的級數和都收斂到同一個值。
• 級數∑ a_n為條件收斂。令S為所有重排級數之和的集合，則S要不為整個複數平面C，要不為複數平面上C上的一條線L

$L=\{a+tb:t\in \mathbf {R} \},\quad a,b\in \mathbf {C} ,\ b\neq 0$

更一般的說，給定一個有限維度實向量空間E，考慮其向量組成的收斂級數，則重排級數之和的集合為E的仿射子空間。

參考來源

• Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）. 於2005年5月16日訪問。