等價關係

在數學中，等價關係（英語：Equivalence relation）是具有自反性，對稱性，遞移性的二元關係。等價關係也稱為同值關係。一些等價關係的例子包括整數集上的同餘，. 歐幾里得幾何中的等量（英語：Equipollence），以及普通的相等關係。

集合 $A$ 上的每個等價關係都提供了一個 $A$ 的劃分，將 $A$ 劃分為不相交的等價類。 $A$ 中的兩個元素等價當且僅當它們屬於同一等價類。

定義

若集合 $A$ 上的二元關係 $R$ 滿足以下條件：

則稱 $R$ 是一個定義在 $A$ 上的等價關係。習慣上會把等價關係的符號由 $R$ 改寫為 $\sim$ 。

例如，設 $A=\{1,2,\ldots ,8\}$ ，定義 $A$ 上的關係 $R$ 如下：

xRy\iff \forall x,y\in A,~x\equiv y{\pmod {3}}

其中 $x\equiv y{\pmod {3}}$ 叫做 $x$ 與 $y$ 模3同餘，即 $x$ 除以3的餘數與 $y$ 除以3的餘數相等。例子有1R4, 2R5, 3R6。不難驗證 $R$ 為 $A$ 上的等價關係。

並非所有的二元關係都是等價關係。一個簡單的反例是比較兩個數中哪個較大：

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