音樂同構

在數學中，特別是黎曼幾何跟微分流形的理論裏，音樂同構（Musical isomorphism 或典範同構 canonical isomorphism）是指（偽）黎曼流形 M 的切叢 TM 與餘切叢 $T^{*}M$ 之間的同構，這個同構由黎曼度量給出。不過一般地，只要流形的切叢上有一個處處非退化的雙線性形式（比如辛流形上的辛形式）便可定義這樣的同構。在帶有內積（或更一般的，非退化的雙線性形式）的有限維向量空間 ${\textstyle V}$，這些同構自然給出了 $V$ 和其對偶空間 $V^{*}$ 之間的同構，在這種情況一般稱這些映射為典範同構（canonical isomorphosm）。

這些運算在流形上的張量場理論裏也稱為指標的上升和下降。

正式定義

黎曼流形 M 的黎曼度量 $g=\sum _{ij}g_{ij}dx^{i}\otimes dx^{j}$ 是一個二階的對稱、正定張量場 $g\in {\mathcal {T}}_{2}^{0}(M)$。在任意一點 x∈M，黎曼度量會誘導出一個映射 ${\widehat {g}}_{x}$

${\widehat {g}}_{x}:T_{x}M\longrightarrow T_{x}^{*}M$

這映射給了點 $x$的切空間跟餘切空間之間的一個線性同構，對任何切向量 X_x 屬於 T_xM，定義

${\widehat {g}}_{x}(X_{x})=\langle X_{x},\cdot \rangle \in T_{x}^{*}M\ ,$

其中符號 $\langle \,,\rangle$ 代表 流形上的黎曼度量。這意味着，

${\widehat {g}}_{x}(X_{x})(Y_{x})=\langle X_{x},Y_{x}\rangle \ .$

這些線性映射的集合定義了一個叢同構

${\widehat {g}}:TM\longrightarrow T^{*}M\ ,$

這是一個特別的微分同胚，在每個切空間上為線性映射。在截面的層次上即是切向量場到餘切向量場的同構。在一個局部坐標 $(U,x)$下，設度量矩陣為 $(g_{ij})$，逆矩陣為 $(g^{ij})$，向量場$X=\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$　。則這個同構會將$X$映射到

${\widehat {g}}:\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\mapsto \alpha ^{i}g_{ij}d\,x^{j}\ .$

這裏使用了愛因斯坦求和約定。

以上同構稱為降號音樂同構（flat）用符號$^{\flat }$表示，例如以上的函數${\widehat {g}}$可表示成：$(\sum _{i}\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}})^{\flat }=\sum _{ij}\alpha ^{i}g_{ij}d\,x^{j}$；而其逆運算稱為升號（sharp）用符號$^{\sharp }$表示：降號下降指標，升號上升指標，(Gallot, Hullin & Lafontaine 2004，第75頁)。升號用局部坐標表示為：

${\widehat {g}}^{-1}:\xi =\alpha _{i}d\,x^{i}\mapsto \alpha _{i}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\ .$

這兩個同構的核心是 g 為處處非退化的雙線性形式，任何一個非退化的雙線性形式都可給出類似的同構，對偽黎曼流形、辛流形也有類似的同構。在辛幾何中，這個同構非常重要，哈密頓向量場便是由這個同構導出的。

名稱由來

同構 ${\widehat {g}}$ 與其逆 ${\widehat {g}}^{-1}$ 稱為「音樂同構」是因為是因為常常用兩種音樂符號 $\flat ,\sharp$來代替這些同構，比如 ${\widehat {g}}(X)$ 會寫成 $X^{\flat }$，${\widehat {g}}^{-1}(\omega )$ 會寫成 $\omega ^{\sharp }$，它們將指標向下、向上移動。例如，流形上的向量場 $\textstyle X=\sum _{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ 經過 $\flat$ 映射會變成餘向量場：

$(\sum _{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}})^{\flat }=\sum _{ij}g_{ij}X^{i}dx^{j}:=\sum _{j}X_{j}dx^{j}\ ,$

這裏$\flat$將$\sum _{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$映射到$\sum _{j}X_{j}dx^{j}$，系數的指標從上到下，所以這運算用降號符號$\flat$表示。

而餘向量 $\omega =\sum _{i}\omega _{i}dx^{i}$，經過 $\sharp$ 運算會變成向量

$(\sum _{i}\omega _{i}dx^{i})^{\sharp }=\sum _{ij}g^{ij}\omega _{i}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\ ,$

所以指標向下、向上移動好似符號降號（$\flat$）與升號（$\sharp$）下降與上升一個半音的音高(Gallot, Hullin & Lafontaine 2004，第75頁)。

梯度、散度與旋度

音樂同構可以用來定義 $\mathbb {R} ^{3}$ 上無坐標形式的梯度、散度與旋度：

${\begin{aligned}\nabla f&=\left({\mathbf {d} }f\right)^{\sharp }\\\nabla \cdot F&=\star {\mathbf {d} }\star (F^{\flat })\\\nabla \times F&=\left[\star {\mathbf {d} }(F^{\flat })\right]^{\sharp }\end{aligned}}$

這裏 $f,F$ 分別是 $\mathbb {R} ^{3}$ 裏的函數跟向量場，$\star$ 是霍奇星號算子(Marsden & Raţiu 1999，第135頁)。不難驗證這與通常坐標形式的定義是一致的。第一個等式對更一般的黎曼流形上的光滑函數也成立。而在辛流形上，第一個等式便定義了以 f 為哈密頓量的哈密頓向量場。

此外，值得指出的是可用音樂同構和霍奇星號算子把叉積與外積聯繫起來，設 v 與 w 是 $\mathbb {R} ^{3}$ 中向量場，容易證明

$\mathbf {v} \times \mathbf {w} =\left[\star \left(\mathbf {v} ^{\flat }\wedge \mathbf {w} ^{\flat }\right)\right]^{\sharp }.$

參考文獻

• Gallot, Sylvestre; Hullin, Dominique; Lafontaine, Jacques, Riemannian Geometry 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-20493-0 .
• Marsden, Jerrold E.; Raţiu, Tudor S., Introduction to Mechanics and Symmetry 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98643-2 .