主理想定理

在數學中，類域論(代數數論的一個分支)的主理想定理指出，理想的擴張給出了從代數數域的類群到其希爾伯特類域的類群的映射，從而將所有理想類送到主理想類。這種現象也被稱為主理想化。

正式命題

對於任何代數數域K和K的整數環中的任何理想I ，如果L是K的希爾伯特類域，則

$IO_{L}\$

是主理想$\alpha O_{L}$ ，此處，$O_{L}$為L的整數環且$\alpha$為$O_{L}$中的元素 。

歷史

大衛·希爾伯特於1902年給出主理想定理的猜想 ，這是他的類域論計劃的最後一部分並於1929年完成。

埃米爾 阿廷 （1927, 1929）將主理想定理簡化為關於有限阿貝爾群的問題: 他證明了如果從有限群到交換子群的轉移平凡的則主理想定理成立。這個結果由菲利浦·富特文勒於1929年證明。

參考

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• Artin, Emil, Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 1929, 7 (1): 46–51, doi:10.1007/BF02941159 
• Furtwängler, Philipp. Beweis des Hauptidealsatzes fur Klassenkörper algebraischer Zahlkörper. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 1929, 7: 14–36. JFM 55.0699.02. S2CID 123544263. doi:10.1007/BF02941157. 
• Gras, Georges. Class field theory. From theory to practice. Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag. 2003. ISBN 3-540-44133-6. Zbl 1019.11032. 
• Hilbert, David, Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper, Acta Mathematica, 1902, 26 (1): 99–131 [1898], doi:10.1007/BF02415486 
• Koch, Helmut. Algebraic Number Theory. Encycl. Math. Sci. 62 2nd printing of 1st. Springer-Verlag. 1997: 104. ISBN 3-540-63003-1. Zbl 0819.11044. 
• Serre, Jean-Pierre. Local Fields. Graduate Texts in Mathematics 67. 由Greenberg翻譯. Springer-Verlag. 1979: 120–122. ISBN 0-387-90424-7. Zbl 0423.12016.