內射維度、投射維度與同調維度

投射維度內射維度同調維度(又稱整體維度)是交換代數中考慮的重要不變量

定義

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以下設  交換環,而   -

 內射維度   定義為其內射分解的最短長度(當   時置  )。投射維度   則定義為其投射分解的最短長度。

利用同調代數的工具,可以進一步得到下述刻劃:

命題一. 設   為整數,下述條件等價:

  •  
  • 對所有  -模  ,有  
  • 對所有理想  ,有  
  • 對所有正合序列  ,若每個   都是內射模,則   也是內射模。

命題二. 設   為整數,下述條件等價:

  •  
  • 對所有  -模  ,有  
  • 對所有正合序列  ,若每個   都是投射模,則   也是投射模。

 諾特環  為有限生成  -模時,上述條件更等價於

  • 對所有極大理想  ,有  
  • 對所有極大理想  ,有  

由此可定義環  同調維度  為:

  •  
  •  
  • 存在  -模   使得   的最大整數  (可能是無窮大)。

性質

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內射維度、投射維度與同調維度對局部化有下述關係:

 
 

其中的   取遍   的所有素理想(或極大理想),而投射維度給出  上半連續函數。事實上,僅須考慮   的支撐集中的素理想。

由此立刻得到  

此外,它們與模的深度也有密切的關係,例如:

定理 (Auslander-Buchsbaum):設   為局部諾特環  為有限生成  -模,而且其投射維度有限,則

 

定理:設   為局部諾特環  為有限生成  -模,而且其內射維度有限,則

 

最後,同調維度為正則局部環給出了一個完全內在的刻劃:

定理(Serre):一個局部諾特環   是正則局部環的充要條件是  ,此時  

文獻

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