李餘代數

數學中，李餘代數（Lie coalgebra）是與李代數對偶的結構。

在有限維情形，它們是對偶的對象：李代數的對偶向量空間上自然有一個李餘代數結構，反之亦然。

定義

設 E 是域 k 上一個向量空間，上有一個線性映射 $d\colon E\to E\wedge E$ 從 E 到 E 與自身的外積。可將 d 惟一擴張成 E 的外代數上一個度數為 1 的分次導子：

$d\colon \bigwedge ^{\bullet }E\rightarrow \bigwedge ^{\bullet +1}E.$

那麼二元組 (E,d) 稱為李餘代數如果 d² = 0，即外代數的分次分量與導子一起 $(\bigwedge ^{*}E,d)$ 構成一個上鏈復形：

$E\ \rightarrow ^{\!\!\!\!\!\!d}\ E\wedge E\ \rightarrow ^{\!\!\!\!\!\!d}\ \bigwedge ^{3}E\rightarrow ^{\!\!\!\!\!\!d}\ \dots .$

與德拉姆復形的關係

就像流形上向量場的外代數（張量代數也是）構成一個（基域 K 上的）李代數，流形上微分形式的德拉姆復形形成一個李餘代數。進一步，在向量場與微分形式之間有一個配對。

但形式要微妙些：李代數不是光滑函數 $C^{\infty }(M)$ 上線性的（誤差是李導數），外導數也不是：$d(fg)=(df)g+f(dg)\neq f(dg)$（它是一個導子，但不是函數線性的），它們不是張量。它們不是在函數上線性的，但它們有一種一致的表現，不能簡單地由李代數與餘代數刻畫。

進一步，在德拉姆復形中，導子不僅對 $\Omega ^{1}\to \Omega ^{2}$ 有定義，而且對 $C^{\infty }(M)\to \Omega ^{1}(M)$ 有定義。

對偶的李代數

向量空間上李代數結構是一個映射 $[\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$，反對稱，且滿足雅可比恆等式。等價地，一個映射 $[\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ 滿足雅可比恆等式。

對偶地，向量空間上李餘代數結構是一個映射 $d\colon E\to E\wedge E$，滿足上閉鏈條件。李括號的對偶誘導一個映射（餘交換子）

$[\cdot ,\cdot ]^{*}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\to ({\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}})^{*}\cong {\mathfrak {g}}^{*}\wedge {\mathfrak {g}}^{*}$

這裡同構 $\cong$ 對有限維成立；對偶是李乘積的對偶。在這種情形下，雅可比恆等式對應於上閉鏈條件。

更明確地，令 E 是一個李餘代數。對偶空間 E^* 上帶有

α([x, y]) = dα(x∧y)，對所有 α ∈ E 與 x,y ∈ E^*

定義的括號結構。

我們證明 E^* 上所賦予的是一個李括號。只需驗證雅可比恆等式。對任意 x, y, z ∈ E^* 與 α ∈ E，

$d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z)={\frac {1}{3}}d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z+y\wedge z\wedge x+z\wedge x\wedge y)={\frac {1}{3}}\left(d\alpha ([x,y]\wedge z)+d\alpha ([y,z]\wedge x)+d\alpha ([z,x]\wedge y)\right),$

這裡最後一步是楔積的對偶與對偶的楔積的標準等同。最後，給出

$d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z)={\frac {1}{3}}\left(\alpha ([[x,y],z])+\alpha ([[y,z],x])+\alpha ([[z,x],y])\right).$

因 d² = 0，從而

$\alpha ([[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y])=0$ 對任意 α, x, y, 與 z。

這樣，由雙對偶同構雅可比恆等式成立。

特別地，注意到證明指出了上閉鏈條件 d² = 0 是雅可比恆等式在某種意義下的對偶。