Mason-Stothers定理

Mason-Stothers定理，或簡稱Mason定理，是數學上關於多項式的定理，而這定理類似於整數上的abc猜想。這定理以1981年出版相關論述的Walter Wilson Stothers^[1]以及稍後獨立發現這定理的R. C. Mason^[2]為名。

此定理陳述如下：

設

a (t)

、

b (t)

、

c (t)

為一個域上彼此互質的多項式、

a + b = c

的導數不全是0（Vanishing）導數的多項式，那麼有

\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}\leq \deg(\operatorname {rad} (abc))-1.

其中 $rad(f)$ 是 $f$ 所有相異的不可約多項式的乘積。對於代數閉域而言，這是與 $f$ 有相同的根的最小多項式；在這狀況下， $deg(rad(f))$ 即代表 $f$ 彼此相異的根的數量。^[3]

例子

對特徵為0的域而言， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 不全為0（Vanishing）導數的多項式的等價條件是這些多項式不全是常數。對於特徵為 $p > 0$ 的域而言，假定這些多項式不全是常數並不足夠，像例如說，對特徵為 $p$ 的域而言， $t p + 1 = (t + 1) p$ 這等式可給出三個多項式（其中 $a$ 與 $b$ 是等號左邊的加數，而 $c$ 放在等號右邊）的最大次數為 $p$ ，但其根基（也就是相異的根的數量）的次數僅僅為 $2$ 。
設 $a (t) = t n$ 及 $c (t) = (t +1) n$ 可給出使得Mason-Stothers定理等號成立的例子，而這顯示說在一些狀況下，不等式是最佳可能。
Mason-Stothers定理的一個推論是費馬最後定理在函數域上的類比：對於彼此互質的多項式 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a (t) n + b (t) n = c (t) n$ 且相關聯的域的特徵不能除盡 $n$ 且 $n > 2$ ，那麼 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 至少有一個為0或者這三個多項式全是常數。

證明

Snyder (2000)給出了以下關於Mason-Stothers定理的初等證明：^[4]

第一步、 $a + b + c = 0$ 這條件表示說 $W (a, b) = ab' - a' b$ 、 $W (b, c)$ 以及 $W (c, a)$ 等朗斯基行列式全數相等，設其共通值為 $W$ 。

第二步、 $a'$ 、 $b'$ 、 $c'$ 這三個導數至少有一個不是消失的（Vanishing）及 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 這兩點表示說 $W$ 不等於零。

像例如說，若 $W = 0$ ，那麼 $ab' = a' b$ ，故 $a$ 可除盡 $a'$ （而這是因為 $a$ 與 $b$ 彼此互質），因此 $a' = 0$ ，而這是因為在 $a$ 非常數的狀況下，有 $deg a > deg a'$ 之故。

第三步、 $W$ 同時可被 $(a, a')$ 、 $(b, b')$ 以及 $(c, c')$ 這三組最大公因數除盡。由於這些多項式彼此互質之故，因此 $W$ 可被其乘積除盡；且因 $W$ 不等於零之故，因此有

deg (a, a') + deg (b, b') + deg (c, c') \leq deg W

第四步、將上式以下列不等式取代：

deg (a, a') \geq deg a

− （

a

相異的根的數量）

deg (b, b') \geq deg b

− （

b

相異的根的數量）

deg (c, c') \geq deg c

− （

c

相異的根的數量）

（其中根取自某個代數閉包）且因為

deg W \leq deg a + deg b - 1

之故，因此有

deg c \leq （ abc 相異的根的數量） - 1

而這正是所要證明的。

推廣

這定理有一個將多項式環以函數域取代的自然推廣，該推廣如下：

設 $k$ 是一個特徵為零的代數閉域，設 $C/k$ 是一個幾何虧格（英語：Geometric genus）為 $g$ 的射影簇（英語：Projective variety），並設

a,b\in k(C)

為一個 $C$ 並滿足 $a+b=1$ 的有理函數，並設 $S$ 為 $C (k)$ 中包含 $a$ 及 $b$ 所有零點和極點的集合，那麼有

\max {\bigl \{}\deg(a),\deg(b){\bigr \}}\leq \max {\bigl \{}|S|+2g-2,0{\bigr \}}.

其中函數在 $k (C)$ 的次數是相應映射從 $C$ 映至^{P^1}的次數。而一個不同且較短的證明在同年由J. H. Silverman（英語：Joseph H. Silverman）發表。^[5]

此外還有一個推廣，這推廣由J. F. Voloch（英語：José Felipe Voloch）^[6]、 W. D. Brownawell（英語：W. Dale Brownawell）及D. W. Masser（英語：David Masser）等人獨立發現，^[7]此推廣給出了在 $a i$ 的子集沒有一個是 $k$ ─線性獨立的狀況下，有 $n$ 個變數的 $S$ 單位等式 $a 1 + a 2 + ... + a n = 1$ 的上界，他們證明了下式：

\max {\bigl \{}\deg(a_{1}),\ldots ,\deg(a_{n}){\bigr \}}\leq {\frac {1}{2}}n(n-1)\max {\bigl \{}|S|+2g-2,0{\bigr \}}

參考資料

^ Stothers, W. W., Polynomial identities and hauptmoduln, Quarterly J. Math. Oxford, 2, 1981, 32: 349–370, doi:10.1093/qmath/32.3.349 .
^ Mason, R. C., Diophantine Equations over Function Fields, London Mathematical Society Lecture Note Series 96, Cambridge, England: Cambridge University Press, 1984 .
^ Lang, Serge. Algebra. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 2002: 194. ISBN 0-387-95385-X.
^ Snyder, Noah, An alternate proof of Mason's theorem (PDF), Elemente der Mathematik, 2000, 55 (3): 93–94 [2023-12-21], MR 1781918, doi:10.1007/s000170050074  , （原始內容存檔 (PDF)於2015-09-06） .
^ Silverman, J. H., The S-unit equation over function fields, Proc. Camb. Philos. Soc., 1984, 95: 3–4
^ Voloch, J. F., Diagonal equations over function fields, Bol. Soc. Bras. Mat., 1985, 16: 29–39
^ Brownawell, W. D.; Masser, D. W., Vanishing sums in function fields, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1986, 100: 427–434

外部連結

埃里克·韋斯坦因. Mason's Theorem. MathWorld.
Mason-Stothers Theorem and the ABC Conjecture （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Vishal Lama ─這是一篇Lang的書的證明的整理版。

[1] Stothers, W. W., Polynomial identities and hauptmoduln, Quarterly J. Math. Oxford, 2, 1981, 32: 349–370, doi:10.1093/qmath/32.3.349 .

[2] Mason, R. C., Diophantine Equations over Function Fields, London Mathematical Society Lecture Note Series 96, Cambridge, England: Cambridge University Press, 1984 .

[3] Lang, Serge. Algebra. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 2002: 194. ISBN 0-387-95385-X.

[4] Snyder, Noah, An alternate proof of Mason's theorem (PDF), Elemente der Mathematik, 2000, 55 (3): 93–94 [2023-12-21], MR 1781918, doi:10.1007/s000170050074  , （原始內容存檔 (PDF)於2015-09-06） .

[5] Silverman, J. H., The S-unit equation over function fields, Proc. Camb. Philos. Soc., 1984, 95: 3–4

[6] Voloch, J. F., Diagonal equations over function fields, Bol. Soc. Bras. Mat., 1985, 16: 29–39

[7] Brownawell, W. D.; Masser, D. W., Vanishing sums in function fields, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1986, 100: 427–434

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