上同調維數

代數中，上同調維數是群的不變量，量度群的表示的同調複雜度。上同調維數在幾何群論、拓撲學、代數數論中有重要應用。

群的上同調維數

就如大多數的同調及上同調不變量，上同調維數涉及選取「係數環」R，最常見的特例是整數環R = Z。設G是離散群，R是非零有單位元的環，RG是其群環。群G的上同調維數小於或等於n，記為cd_R(G) ≤ n，若平凡RG-模R有一個長為n的投射分解，也就是有投射RG-模P₀, …, P_n，及RG-模同態d_k: P_k→P_{k − 1}(k = 1, …, n)和d₀: P₀→R，使得對k = 1, …, n，d_k的像正是d_{k − 1}的核，且d_n有平凡核。

等價地，群G的上同調維數小於或等於n，若對任何RG-模M，G以M為係數的上同調於階k > n時消失，即H^k(G,M) = 0。

若n是最小的整數使得群G的上同調維數小於或等於n，則G的（係數R的）上同調維數等於n，記為n = cd_R(G)。

例子

以下例子中係數環R為Z。

自由群的上同調維數等於1。按斯托林斯－斯旺（Stallings–Swan）定理，這性質完全描述了自由群。
除球面外，一個緊緻連通可定向的黎曼曲面的基本群的上同調維數等於2。
更一般而言，一個n維的緊緻連通可定向的非球面流形的基本群的上同調維數等於n。
非平凡有限群的上同調維數為無限。

參見

群上同調

參考

Brown, Kenneth S. Cohomology of groups. Graduate Texts in Mathematics 87 Corrected reprint of the 1982 original. New York: Springer-Verlag. 1994. ISBN 0-387-90688-6. MR 1324339. Zbl 0584.20036.
Dicks, Warren. Groups, Trees, and Projective Modules. Lecture Notes in Mathematics 790. Berlin: Springer-Verlag. 1980. ISBN 3-540-09974-3. MR 0584790. Zbl 0427.20016. doi:10.1007/BFb0088140.
Dydak, Jerzy. Cohomological dimension theory. Daverman, R. J. (编). Handbook of geometric topology. Amsterdam: North-Holland. 2002: 423–470. ISBN 0-444-82432-4. MR 1886675. Zbl 0992.55001.
Gille, Philippe; Szamuely, Tamás. Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 101. Cambridge: Cambridge University Press. 2006. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001.
Serre, Jean-Pierre. Galois cohomology. Springer-Verlag. 1997. ISBN 3-540-61990-9. Zbl 0902.12004.
Shatz, Stephen S. Profinite groups, arithmetic, and geometry. Annals of Mathematics Studies 67. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1972. ISBN 0-691-08017-8. MR 0347778. Zbl 0236.12002.
Stallings, John R. On torsion-free groups with infinitely many ends. Annals of Mathematics (2). 1968, 88: 312–334. ISSN 0003-486X. MR 0228573. Zbl 0238.20036.
Swan, Richard G. Groups of cohomological dimension one. Journal of Algebra. 1969, 12: 585–610. ISSN 0021-8693. MR 0240177. Zbl 0188.07001.