埃尔德什-波温常数

埃尔德什-波温常数是所有梅森数的倒数之和。

埃尔德什-波温常数

識別
種類	無理數
符號	$E$
位數數列編號	A065442
性質
定義	$E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}$
表示方式
值	1.60669515 $E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}$ $E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}$ $E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}$ $E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}$
二进制	1.100110110101000001011111…
八进制	1.466501374744176211033763…
十进制	1.606695152415291763783301…
十六进制	1.9B505F9E43F22437F372C528…

根据定义，它是：

$E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}\approx 1.606695152415291763\dots$

也可以写成以下的形式：

$E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}$

$E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}$

$E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}$

$E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}$

其中σ₀(n) = d(n)是因子函数，它是一个积性函数，是n的正因子的数目。

埃尔德什在1948年证明了E是一个无理数。

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 埃尔德什-波温常数. MathWorld.