尚努埃爾引理

數學同調代數中,尚努埃爾(Schanuel)引理是一條簡易的基本結果,可用來比較一個投射性有多遠。

敘述

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R

0 → KPM → 0
0 → K'P ' → M → 0

是兩條左R-模的短正合序列PP '是投射模,則KP '同構K ' ⊕ P

證明

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定義PP '的子模如下,其中φ : PM,φ' : P ' → M

 

定義映射 π : XP為自X投射第一個座標至P。φ' 是滿射,所以對任何pX,都有qP ' 使得φ(p) = φ'(q)。故有(p,q) ∈ X,得 π (p,q) = p。因此π 是滿射

考慮π 的

 

由此可知有短正合序列

 

因為P是投射的,所以序列分裂,故有XK ' ⊕ P

同理可得

 

因此XP ' ⊕ K。結合X的兩等價式,結果得證。

長正合序列

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以上證明也可推廣至長正合序列[1]

應用

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 M的一個投射分解,使得 是投射的,則M的每個投射分解都是如此。

證明

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 是另一個投射分解。考慮短正合序列

 
 

從尚努埃爾引理可知 ,而從假設知 是投射的,故 是投射模的直和項,因此也是投射的。

起源

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斯蒂芬·尚努埃爾在歐文·卡普蘭斯基1958年秋季學期芝加哥大學的同調代數課上發現這個證法。卡普蘭斯基在書上說:他在課上給出了一個模的投射分解的一步,並指出若在一個分解中這個核是投射的,則在所有分解中都是投射的,又說雖然命題簡單,但須過些時候才能證。尚努埃爾回應說這容易證,於是描述了大概,就是後來以其命名的引理。他們討論了幾天後,得到了完整的證明。[2]

參考

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  1. ^ Lam, T.Y. Lectures on Modules and Rings. Springer. 1999. ISBN 0-387-98428-3.  pgs. 165–167.
  2. ^ Kaplansky, Irving. Fields and Rings. University Of Chicago Press. 1972. ISBN 0-226-42451-0.  pgs. 165–168.