閉無界集

數學中，尤其是數理邏輯和集合論中，閉無界集（英語：closed and unbounded set, club set）是极限序数的一類子集，其在該極限序數的序拓撲中為閉，且相對於該極限序數為無界（見嚴格定義）。

嚴格定義

嚴格而言，若$\kappa$為極限序數，則集合$C\subseteq \kappa$為閉當且僅當對每個$\alpha <\kappa$，若$\sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0$，則$\alpha \in C$。因此，若$C$中，某序列的極限小於$\kappa$，則該極限也在$C$中。

若$\kappa$為極限序數，且$C\subseteq \kappa$，則$C$稱為在$\kappa$中無界，意思是對任意$\alpha <\kappa$，皆有$\beta \in C$使$\alpha <\beta$。

若集合既閉又無界，則為閉無界集。有時也考慮閉的真類（由序數組成的真類必然在所有序數組成的類$\mathrm {On}$中無界）。

例如，所有可數極限序數構成的集合就是首個不可數序數的閉無界子集；然而，其並非任何更大的極限序數的閉無界子集，因為其既不閉，也非無界。所有極限序數$\alpha <\kappa$構成的集合是$\kappa$的閉無界子集。從另一個角度，閉無界集即是正規函數（即遞增且連續的函數）的值域。

更一般地可以定義何種$C\subseteq [X]^{\lambda }$為閉無界集。若$X$非空，$\lambda$為基數，且$X$中每個大小小於$\lambda$的子集都包含於$C$$C$的某個元素中，則$C$稱為閉無界集。（參見固定集）

閉無界濾子

設$\kappa$為極限序數，且其共尾性$\lambda$不可數。對$\alpha <\lambda$，設$\langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle$為$\kappa$的一列閉無界子集，則$\bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }$也是閉無界集。原因是，閉集的任意交必為閉，故只需證明該交集無界。固定任意$\beta _{0}<\kappa$，又對每個$n<\omega$，從每個$C_{\xi }$中，選取元素$\beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}$（可以如此選取，因為每個$C_{\xi }$都無界）。由於此為少於$\lambda$個序數，且每個都小於$\kappa$，其上確界也必小於$\kappa$，稱其為$\beta _{n+1}$。如此，得到可數序列$\beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\dots$，其極限同樣會是序列$\beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\dots$的極限，而由於每個$C_{\xi }$皆為閉，且$\lambda$不可數，後者的極限必在$C_{\xi }$中，所以$(\beta _{n})$的極限是上述交集的元素，且大於$\beta _{0}$，但$\beta _{0}$為任意，故交集無界，即為所求證。

由此可見，若$\kappa$為正則基數，則閉無界集生成$\kappa$上的非主$\kappa$完備濾子。該濾子可以符號表示成$\{S\subset \kappa :\exists C\subseteq \kappa ,C\subseteq S,$ 且$C$是$\kappa$中的閉無界集$\}$。

若$\kappa$為正則基數，則閉無界集關於對角交運算亦是封閉的。

反之，若$\kappa$正則，而${\mathcal {F}}$為$\kappa$上關於對角交運算封閉的濾子，且所有形如$\{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}$（其中$\alpha <\kappa$）的集合皆為${\mathcal {F}}$的元素，則所有閉無界集均屬於${\mathcal {F}}$。

參見

• 閉無界濾子
• 固定集
• 梅花系原理

參考資料

• Lévy, Azriel. Basic Set Theory [基礎集合論]. Perspectives in Mathematical Logic Reprinted 2002, Dover (Springer-Verlag). 1979. ISBN 0-486-42079-5 （英语）. 

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