一矩阵

此条目的主题是所有元素皆为1的矩阵。关于主对角线元素为1、其余元素为0的矩阵，请见“单位矩阵”。

在数学中，一矩阵又称为全一矩阵，是指所有元素皆为1的矩阵，通常以符号$J$来表示，并以下标符号表示矩阵的维度，例如：

$J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad$

部分文献将之称为单元矩阵或单位矩阵（英语：unit matrix）。但“单位矩阵”一词更常代表主对角线为一、其余为零的单位矩阵，两者是不同的矩阵。

类似地，一向量或全一向量是指只所有元素皆为1的向量，可以视为有一行或只有一列的全一矩阵，其也不应与单位向量混淆。

特别地，$1\times 1$的全一矩阵与单位矩阵是等价的，即$I_{1}=J_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$。对于所有维度大于或等于2的全一矩阵，若其为方阵，则其行列式为0。

性质

所有的$n\times n$的全一方阵（为方阵的全一矩阵）$J_{n}$有以下性质：

• $J_{n}$的迹为$n$
• 若$n\geq 2$，$J_{n}$的行列式为$\det J_{n}=0$。对于小于2的情况，行列式为1，即$\det J_{1}=\det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1$。（若也将$n=0$考虑进来，则若将空矩阵也视为一种全一矩阵，则其行列式也为1）
• 全一矩阵$J_{n}$的特征多项式为$(x-n)x^{n-1}$
• 全一矩阵$J_{n}$的极小多项式为$(x-n)x$
• 全一矩阵$J_{n}$的秩为1、特征值为$n$（代数重数为1）和0（代数重数为$n-1$）
• $J^{k}=n^{k-1}J$，其中$k=1,2,\ldots .$
• 全一矩阵$J$是阿达玛乘积的单位元

当全一矩阵$J$在实矩阵运算时，以下附加性质成立：

• 全一矩阵$J$为半正定矩阵
• ${\frac {1}{n}}J_{n}$为幂等矩阵
• 全一矩阵$J$的矩阵指数为$\exp(J_{n})=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J_{n}$

应用

全一矩阵可以应用于数学领域中的组合学，特别是在涉及代数方法的图论中。举例来说，如果$A$是$n$个顶点无向图$G$的邻接矩阵，且$J$是与$A$相同维度的全一矩阵，则若$AJ=JA$时，$G$为正则图，反之亦然。

参见

• 零矩阵
• 矩阵单元