设 ( A , ≤ ) {\displaystyle (A,\leq )} 为一个偏序集，若存在 y ∈ A {\displaystyle y\in A} ，能满足 ∀ x ∈ B ⊆ A {\displaystyle \forall x\in B\subseteq A} 都有 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} ，则 y {\displaystyle y} 称作集合 B {\displaystyle B} 的上界，若存在 z ∈ A {\displaystyle z\in A} ，能满足 ∀ x ∈ B ⊆ A {\displaystyle \forall x\in B\subseteq A} 都有 x ≥ z {\displaystyle x\geq z} ，则 z {\displaystyle z} 称作 B {\displaystyle B} 的下界。
例如在实变数中，若存在一个实数 b {\displaystyle b} ，能满足 ∀ x ∈ S ⊆ R {\displaystyle \forall x\in S\subseteq R} 都有 x ≤ b {\displaystyle x\leq b} ，则 b {\displaystyle b} 即为集合 S {\displaystyle S} 的上界，若存在一个实数 c {\displaystyle c} ，能满足 ∀ x ∈ S ⊆ R {\displaystyle \forall x\in S\subseteq R} 都有 x ≥ c {\displaystyle x\geq c} ，则 c {\displaystyle c} 即为集合 S {\displaystyle S} 的下界。
连续性公理：在非空实数集中，若含上界，则必含最小上界（上确界）；若含下界，则必存在最大下界（下确界)。[1]
