不可数集

不可数集（英语：uncountable set）是无穷集合中的一种。一个无穷集合和自然数集之间要是不存在一个双射，那么它就是一个不可数集。集合的不可数性与它的基数密切相关：如果一个集合的基数大于自然数的基数，那么它就是不可数的。

定义

不可数集有许多等价的定义。一个集合 $X$ 是不可数集，当且仅当以下任何一个条件成立：

不存在从 $X$ 到自然数集合的单射函数。
$X$ 的基数既不是有限的，又不等于 $\aleph _{0}$ （阿列夫-0，自然数集合的基数）。
$X$ 的基数严格大于 $\aleph _{0}$ 。

性质

如果不可数集 $X$ 是集合 $Y$ 的子集，则 $Y$ 是不可数集。

例子

不可数集的最广为人知的例子，是所有实数的集合 $\mathbb {R}$ ；对角论证法证明了这个集合是不可数的。对角论证法也可以用来证明一些其它的集合是不可数的，例如所有自然数的无穷序列的集合（甚至是所有只由0和1所组成的无穷序列的集合），以及自然数集合的所有子集所组成的集合。 $\mathbb {R}$ 的基数通常记为 $c$ 、 $2^{\aleph _{0}}$ ，或 $\beth _{1}$ 。

康托尔集是 $\mathbb {R}$ 的一个不可数子集。它是一个分形，其豪斯多夫维大于零，但小于一（ $\mathbb {R}$ 的维数是一）。这是以下事实的一个例子：如果 $\mathbb {R}$ 的某个子集有严格大于零的豪斯多夫维，那么它一定是不可数的。

另外一个不可数集的例子，是所有从 $\mathbb {R}$ 到 $\mathbb {R}$ 的函数的集合。这个集合比 $\mathbb {R}$ 更“不可数”，因为它的基数是 $\beth _{2}$ ，它比 $\beth _{1}$ 还要大。

一个更加抽象的例子，是所有可数序数的集合，记为 $\Omega$ 或 $\omega _{1}$ 。 $\Omega$ 的基数记为 $\aleph _{1}$ 。利用选择公理，可以证明 $\aleph _{1}$ 是最小的不可数基数。于是，实数的基数 $\beth _{1}$ ，要么等于 $\aleph _{1}$ ，要么严格比它大。康托尔是第一个提出 $\beth _{1}$ 是否等于 $\aleph _{1}$ 的问题的人。在1900年，希尔伯特把这个问题作为他的23个问题之一。 $\aleph _{1}=\beth _{1}$ 的陈述现在称为连续统假设，现已知道它独立于集合论的ZF公理（包括选择公理）。

参见

参考文献

Halmos, Paul，Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

外部链接

证明R是不可数集（页面存档备份，存于互联网档案馆）