不可约元素

不可约元素是抽象代数中的名词，是指在整环中一个非零、非单位的元素，而且也无法表示为二个非单位元素的乘积。

不可约元素和质元素的关系

不可约元素和质元素不同，交换环 $R$ 内的非零、非单位元素 $a$ 为质元素，表示若在交换环 $R$ 内存在 $b$ 及 $c$ ，使得 $a|bc$ ，则 $a|b$ 或 $a|c$ 必定有一个成立。

在整环中，每一个质元素都是不可约元素^[1]^[2]，但一般而言，不可约元素不会是质元素。只有在唯一分解整环（或范围更广的GCD环）中的不可约元素才一定是质元素。

再者，一个用质元素产生的理想为素理想，但由不可约元素产生的理想一般不会是不可约理想（英语：irreducible ideal）。不过，若 $D$ 为GCD环，且 $x$ 为 $D$ 环中的不可约元素，则产生的理想会是素理想^[3]。

在二次整数环（英语：quadratic integer ring） $\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 中，可以用范数证明 3 是不可约元素。不过，3 不是质元素，因为

3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9,

但 $3$ 无法整除 $2+{\sqrt {-5}}$ ，也无法整除 $2-{\sqrt {-5}}$ 。^[4]

^ 考虑 $p$ 为一个可约的质元素： $p=ab.$ ，则 $p|ab\Rightarrow p|a$ 或 $p|b$ 。假如 $p|a\Rightarrow a=pc,$ 则可得 $p=ab=pcb\Rightarrow p(1-cb)=0.$ 。因为 $R$ 为整环，因此可得 $cb=1.$ 。因此 $b$ 为单位元素，而 $p$ 是不可约元素。
^ Sharpe (1987) p.54
^ planetmath Irreducible Ideal. [2015-08-25]. （原始内容存档于2010-06-20）.
^ William W. Adams and Larry Joel Goldstein. Introduction to Number Theory. Prentice-Hall, Inc. 1976: 250. ISBN 0-13-491282-9.