二年级之梦(sophomore's dream)是约翰·白努利于1697年发现的两条有趣的数学恒等式。
名称来自于与之相对的一年级之梦,也就是“ (x + y)n = xn + yn ”。两个梦都带有数学吓人的简单表达方式,然而一年级之梦为错误的方程式,因为只要将 n = 2 {\displaystyle n=2} 带入就会发现无法形成等式;但是二年级之梦却是正确的式子。
第一条公式,首先利用对数转换和积分与级数顺序变化[1]:
得到 ∫ 0 1 − x x d x = ∫ 0 1 ∑ n = 0 ∞ ( − x ln x ) n n ! d x = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 1 ( − ln x ) n ∗ x n n ! d x . {\displaystyle \int _{0}^{1}-x^{x}\,dx=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-x\ln x)^{n}}{n!}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {(-\ln x)^{n}*x^{n}}{n!}}\,dx.}
设 u = ( − ln x ) {\displaystyle u=(-\ln x)}
所以 ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 1 ( − ln x ) n ∗ x n n ! d x = ∑ n = 0 ∞ ∫ ∞ 0 u n e − n u n ! ( − e − u ) d u = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 ∞ u n e − n u n ! ( e − u ) d u {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {(-\ln x)^{n}*x^{n}}{n!}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{\infty }^{0}{\frac {u^{n}e^{-nu}}{n!}}(-e^{-u})\,du=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{n}e^{-nu}}{n!}}(e^{-u})\,du}
再设 v = ( n + 1 ) u {\displaystyle v=(n+1)u}
∑ n = 0 ∞ ∫ 0 ∞ u n e − n u n ! ( e − u ) d u = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( n + 1 ) n + 1 ∫ 0 ∞ v n e − v d v {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{n}e^{-nu}}{n!}}(e^{-u})\,du=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!(n+1)^{n+1}}}\int _{0}^{\infty }v^{n}e^{-v}\,dv}
根据Gamma函数 ∫ 0 ∞ v n e − v d v = Γ ( n + 1 ) = n ! {\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{n}e^{-v}\,dv=\Gamma (n+1)=n!}
最终推得 ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( n + 1 ) n + 1 ∫ 0 ∞ v n e − v d v = ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + 1 ) n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 n n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!(n+1)^{n+1}}}\int _{0}^{\infty }v^{n}e^{-v}\,dv=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{n+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{n}}}}