二次规划

二次规划（Quadratic programming），在运筹学当中，是一种特殊类型的最优化问题。

简介

一个有n个变数与m个限制的二次规划问题可以用以下的形式描述。首先给定：

• 一个 $n$ 维的向量 $\mathbf {c}$
• 一个 $n\times n$ 维的对称矩阵 $Q$
• 一个 $m\times n$ 维的矩阵$A$
• 一个 $m$ 维的向量 $\mathbf {b}$

则此二次规划问题的目标即是在限制条件为

$Ax\leq b$

的条件下，找一个n 维的向量 x ，使得

$f(x)=(1/2)x^{T}Qx+c^{T}x$

为最小。其中$x^{T}$是$x$的转置。

根据不同的参数特性，可以得到对问题不同的结论

• 如果Q是半正定矩阵，那么f(x)是一个凸函数。相应的二次规划为凸二次规划问题；此时若约束条件定义的可行域不为空，且目标函数在此可行域有下界，则该问题有全局最小值。
• 如果Q是正定矩阵，则该问题有唯一的全局最小值。
• 若Q为非正定矩阵，则目标函数是有多个平稳点和局部极小点的NP问题。
• 如果Q=0，二次规划问题就变成线性规划问题。

根据优化理论，一个点x成为全局最小值的必要条件是满足Karush-Kuhn-Tucker条件（KKT）。当f(x)是凸函数时，KKT条件也是充分条件。

当二次规划问题只有等式约束时，二次规划可以用线性方程求解。否则的话，常用的二次规划解法有：

• 内点法(interior point)
• active set
• 共轭梯度法
• 椭球法 若Q为正定矩阵，则相应的二次规划问题可由椭球法在多项式时间内求解。
• 增广拉格朗日法
• 梯度投影法

凸集二次规划问题是凸优化问题的一个特例。

对偶

每个二次规划问题的对偶问题也是二次规划问题。以正定矩阵Q为例：

$L(x,\lambda )=(1/2)x^{T}Qx+\lambda ^{T}(Ax-b)+c^{T}x$

对偶问题$g(\lambda )$，可定义为

$g(\lambda )=\inf _{x}L(x,\lambda )$

可用$\nabla _{x}L(x,\lambda )=0$:得到$L$的极小

$x*=-Q^{-1}(A^{T}\lambda +c)$,

对偶函数：

$g(\lambda )=-(1/2)\lambda ^{T}AQ^{-1}A^{T}\lambda -c^{T}Q^{-1}A^{T}\lambda -b^{T}\lambda$

对偶问题为：

maximize :$-(1/2)\lambda ^{T}AQ^{-1}A^{T}\lambda -(c^{T}Q^{-1}A^{T}+b^{T})\lambda$

subject to :$\lambda \geq 0$

计算复杂性

当Q正定时，用椭圆法可在多项式时间内解二次规划问题。当Q非正定时，二次规划问题是NP困难的。即使Q只存在一个负特征值时，二次规划问题也是NP困难的。