密克定理

密克定理（英语：Miquel's theorem）是几何学中关于相交圆的定理。1838年，密克叙述并证明了数条相关定理。许多有用的定理可由其推出。

定理陈述

三圆定理：设三个圆$C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$交于一点$O$，而$M$, $N$, $P$分别是$C_{1}$ 和$C_{2}$, $C_{2}$和$C_{3}$, $C_{3}$和$C_{1}$的另一交点。设$A$为$C_{1}$的点，直线$MA$交$C_{2}$于$B$，直线$PA$交$C_{3}$于$C$。那么$B$, $N$, $C$这三点共线。

逆定理：如果$\triangle ABC$是三角形，$M$, $N$, $P$三点分别在边$AB$, $BC$, $CA$上，那么三角形$\triangle AMP$, $\triangle BMN$, $\triangle CNP$的外接圆交于一点$O$。

完全四线形定理：如果$ABCDEF$是完全四线形，那么三角形$\triangle EAD$, $\triangle EBC$, $\triangle FAB$, $\triangle FDC$的外接圆交于一点 $O$，称为密克点。

四圆定理：设$C_{1}$, $C_{2}$,$C_{3}$, $C_{4}$为四个圆，$A_{1}$和$B_{1}$是$C_{1}$和$C_{2}$的交点，$A_{2}$和$B_{2}$是$C_{2}$ 和$C_{3}$的交点，$A_{3}$和$B_{3}$是$C_{3}$和$C_{4}$的交点，$A_{4}$和$B_{4}$是$C_{1}$和$C_{4}$的交点。那么$A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$, $A_{4}$四点共圆当且仅当$B_{1}$, $B_{2}$, $B_{3}$, $B_{4}$四点共圆。

五圆定理：设$ABCDE$为任意五边形，五点$F$, $G$, $H$, $I$, $J$分别是$EA$和$BC$ , $AB$和$CD$, $BC$和$DE$, $CD$和$EA$, $DE$和$AB$的交点，那么三角形$\triangle ABF$, $\triangle BCG$, $\triangle CDH$, $\triangle DEI$, $\triangle EAJ$的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆。需要注意这样构造出的圆并不穿过五个外接圆的圆心。

几何中的五圆定理是指，五个顺次相交的圆，其圆心和一个交点位于第六个圆上，将另一个交点两两连接并延长和圆相接，可以构成五角星。

逆定理：设$C_{1},$, $C_{2}$, $C_{3}$, $C_{4}$, $C_{5}$五个圆的圆心都在圆$C$上，相邻的圆交于$C$上，那么把它们不在$C$上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交于这五个圆上。

历史

1838年密克在刘维尔的期刊《纯粹与应用数学杂志》发表了该定理的一部分。

密克的第一条定理，是很久前已有的著名经典结果，以圆周角定理证明。

完全四线形四圆的交点现在称为密克点，但这性质施泰纳在1828年已经知道，华莱士也很可能已经知道。

五圆定理是一条更一般的定理的特殊情形。这条定理由克利福德提出及证明。

2000年12月20日，中国国家主席江泽民出席澳门回归祖国一周年庆典活动期间，在参观濠江中学时向该校师生出了一道求证“五点共圆”的问题，令问题重新引起广泛兴趣，五点共圆问题的证明后来也成为膜蛤文化的一部分。

孔涅在2002年10月的一个研讨会也重提这问题。

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Miquel's theorem. MathWorld. 
• Miquels' Theorem as a special case of a generalization of Napoleon's Theorem at Dynamic Geometry Sketches