交错级数判别法

交错级数审敛法（Alternating series test）是证明无穷级数收敛的一种方法，最早由戈特弗里德·莱布尼茨发现，因此该方法通常也称为莱布尼茨判别法或莱布尼茨准则。

具有以下形式的级数

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$

其中所有的a_n 非负，被称作交错级数，如果当n趋于无穷时，数列a_n的极限存在且等于0，并且每个a_n小于或等于a_n-1（即，数列a_n是单调递减的），那么级数收敛．如果L是级数的和

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=L\!$

那么部分和

$S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!$

逼近L有截断误差

$\left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}\!$

证明

我们假设级数具有形式$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$．当$n$趋于无穷时，数列$a_{n}$的极限等于0，并且每个 $a_{n}$小于或等于$a_{n-1}$（即$a_{n}$是单调递减数列）．

收敛性证明

给定数列前 $(2n+1)$ 项的部分和 $S_{2n+1}=a_{0}+\left({-a_{1}+a_{2}}\right)+\left({-a_{3}+a_{4}}\right)+\ldots +\left({-a_{2n-1}+a_{2n}}\right)-a_{2n+1}$．由于每个括号内的和非正，并且 $a_{2n+1}\geq 0$ ，那么前 $(2n+1)$ 项的部分和不大于 $a_{0}$.

并且每个部分和可写做 $S_{2n+1}=\left({a_{0}-a_{1}}\right)+\left({a_{2}-a_{3}}\right)+\ldots +\left({a_{2n}-a_{2n+1}}\right)$．每个括号内的和非负．因此，级数 $S_{2n+1}$ 单调递增：对任何 $n\in N$ 均有：$S_{2n+1}\leq S_{2n+3}$.

结合以上两段论述，由单调收敛定理可得，存在数 $s$ 使得 $\lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=s$.

由于 $S_{2n}=S_{2n+1}-a_{2n+1}$ 并且 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ ，那么 $\lim _{n\to \infty }S_{2n}=s$．给定数列的和为 $\lim _{n\to \infty }S_{2n}=\lim _{n\to \infty }S_{2n+1}=s$ ，其中 $s$ 为有限数，从而数列收敛．

部分和截断误差的证明

在收敛性的证明过程中，我们发现$S_{2n+1}$是单调递增的．由于$S_{2n}=a_{0}+\left(-a_{1}+a_{2}\right)+\ldots +\left(-a_{2n-1}+a_{2n}\right)$，并且括号中的每一项是非正的，这样可知$S_{2n}$是单调递减的．由先前的论述，$\lim _{n\to \infty }S_{2n}=L$，因此$S_{2n}\geq L$．类似的，由于$S_{2n+1}$是单调递增且收敛到$L$，我们有$S_{2n+1}\leq L$．因此我们有$S_{2n+1}\leq L\leq S_{2n}$对所有的n均成立．

因此如果k是奇数我们有$|L-S_{k}|=L-S_{k}\leq S_{k+1}-S_{k}=a_{k+1}\leq a_{k}$，而如果k是偶数我们有$|L-S_{k}|=S_{k}-L\leq S_{k}-S_{k-1}=a_{k}$．

参阅

• 狄利克雷判别法

图书资料

• Knopp，Konrad，"Infinite Sequences and Series"，Dover publications，Inc.，New York，1956．(§ 3.4) ISBN 0-486-60153-6

• Whittaker，E．T.，and Watson，G．N.，A Course in Modern Analysis，fourth edition，Cambridge University Press，1963．(§ 2.3) ISBN 0-521-58807-3

• Last，Philip，"Sequences and Series"，New Science，Dublin，1979．(§ 3.4) ISBN 0-286-53154-3