代数同态

在A和B两个K-多元环之间的同态是指一个函数$F:A\rightarrow B$，此函数能使得对所有在K内的k和在A内的x、y来说，

• F(kx) = kF(x)

• F(x + y) = F(x) + F(y)

• F(xy) = F(x)F(y)

若F是双射的，则F称为是A和B之间的同构。

例子

令A=K[x]为在一个体K上的所有多项式所组成的集合，且B为一个在K上所有多项式函数所组成的集合，则A跟B两个都会是在K上分别由标准的多项式和函数的乘法及加法所构成的代数。可以将每个在A内的$f\,$以${\hat {f}}(t)=f(t)\,$的方式映射至于B内的${\hat {f}}\,$。很简单便可以知道这个映射$f\rightarrow {\hat {f}}\,$会是一个A和B两个代数之间的同态。若K是一个有限体的话，则可令

$p(x)=\Pi _{t\in K}(x-t).\,$

其中p是一个在K[x]内的非零多项式。但对所有在K内的t，$p(t)=0\,$，所以其映射${\hat {p}}=0\,$都会是一个零值函数，这两个代数因此不会是同构的。

若K是无限的，则令${\hat {f}}=0\,$。接下来要证明这会使得$f=0\,$。设$deg(f)=n\,$和$t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}\,$为K内n+1个不同的元素，则对$0\leq i\leq n$都会有$f(t_{i})=0\,$。再利用拉格朗日插值便能得到$f=0\,$。因此映射$f\rightarrow {\hat {f}}\,$是单射的，故而有一个在A和B之间的同构。