仿射密码

仿射密码是一种替换密码。它是一个字母对一个字母的。

A	0	5	5	F
B	1	22	22	W
C	2	39	13	N
D	3	56	4	E
E	4	73	21	V
F	5	90	12	M
G	6	107	3	D
H	7	124	20	U
I	8	141	11	L
J	9	158	2	C
K	10	175	19	T
L	11	192	10	K
M	12	209	1	B
N	13	226	18	S
O	14	243	9	J
P	15	260	0	A
Q	16	277	17	R
R	17	294	8	I
S	18	311	25	Z
T	19	328	16	Q
U	20	345	7	H
V	21	362	24	Y
W	22	379	15	P
X	23	396	6	G
Y	24	413	23	X
Z	25	430	14	O

展示 17x+5 的仿射密码。首先字母被转换成介于0到25的数字，下一步对每个套用 17x+5，结果再取除26后的余数，最后再转回字母。

它的加密函数是 $e(x)=ax+b{\pmod {m}}$ ，其中

$a$ 和 $m$ 互质。
$m$ 是字母的数目。

解码函数是 $d(x)=a^{-1}(x-b){\pmod {m}}$ ，其中 $a^{-1}$ 是 $a$ 在 $\mathbb {Z} _{m}$ 群的乘法逆元。

仿射密码 为单表加密的一种，字母系统中所有字母都藉一简单数学方程加密，对应至数值，或转回字母。其仍有所有替代密码之弱处。所有字母皆借由方程 $(ax+b)\mod (26)$ 加密， $b$ 为移动大小。

介绍

于仿射加密中，大小为 $m$ 之字母系统首先对应至 $0..m-1$ 范围内之数值，接着使用模算数来将原文件中之字母转换为对应加密文件中的数字。单一字母的加密函数为

{\mbox{E}}(x)=(ax+b)\mod {m},

取余 $m$ 为字母系统大小且 $a$ 和 $b$ 为密码关键值。 $a$ 之值必须使得 $a$ 与 $m$ 互质. 解密方程为

{\mbox{D}}(x)=a^{-1}(x-b)\mod {m},

此处 $a^{-1}$ 为 $a$ 取模 $m$ 之模反元素 of I.e., 满足等式

1=aa^{-1}\mod {m}.

$a$ 之乘法逆元素仅存在于 $a$ 与 $m$ 互质条件下。由此，没有 $a$ 的限制，可能无法解密。易知解密方程逆于加密方程。

{\begin{aligned}{\mbox{D}}({\mbox{E}}(x))&=a^{-1}({\mbox{E}}(x)-b)\mod {m}\\&=a^{-1}(((ax+b)\mod {m})-b)\mod {m}\\&=a^{-1}(ax+b-b)\mod {m}\\&=a^{-1}ax\mod {m}\\&=x\mod {m}.\end{aligned}}

弱处

因为仿射密码仍为单字母表密码, 其依旧保留了该类别加密之弱处。当 $a=1$ ，仿射加密为凯撒密码，因该加密方程可简化为线性移动。考虑加密英文。(即： $m=26$ )，不计26易凯萨密码，总共有286非易仿射密码。此数值是由于小于26之数中有12数与26互质。 ( $a$ 的可能值). $a$ 的每个值可有26互异之加法移动( $b$ 之值); 因此，共有 12*26 或 312 可能之关键值。因为密码缺少复杂性，根据柯克霍夫原则，这套系统是不安全的。

此密码之首要弱处为，如果密码学家可发现(如频率分析, 暴力破解, 臆测或任何其他方法) 加密文件两字元之原文，则关键值可透过解一方程组得到。由于我们知道 $a$ 及 $m$ 互质，这个事实可被用于快速破解密码。

仿射密码中同种的转换使用于线性同余方法，为伪随机数生成器中的一种。此产生器不为密码学安全伪随机数生成器，因仿射加密不安全。

范例

在以下一加密一解密的例子中，字母为从Ａ至Ｚ，且在表格中都有对应值。

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

加密

在加密范例中，^[1] 使用前述表格中各字母对应之数值可知欲加密的原文件为 "AFFINE CIPHER" ， $a$ 对应5, $b$ 对应 8, 而 $m$ 对应 26 （因共使用26字母）。其中 $a$ 之值必须与 $m$ 的值26互质，所以其所有可能值包含1、3、5、7、9、11、15、17、19、21、23、25。若 $a\neq 1$ ，则 $b$ 之值可随机选定（因为b只让密文值平移而已）。所以，此加密范例的函数为 $y=E(x)=(5x+8){\pmod {26}}$ . 加密讯息的首步即为写出每个字母的数字值。

原始文件:	A	F	F	I	N	E	C	I	P	H	E	R
x:	0	5	5	8	13	4	2	8	15	7	4	17

现在，取x各值并解等式的第一部分， $(5x+8)$ 。得出各字母对应 $(5x+8)$ 的值后，取其对26的余数。以下表格为加密的首四步骤。

原始文件:	A	F	F	I	N	E	C	I	P	H	E	R
x:	0	5	5	8	13	4	2	8	15	7	4	17
$5x+8$	8	33	33	48	73	28	18	48	83	43	28	93
$(5x+8){\pmod {26}}$	8	7	7	22	21	2	18	22	5	17	2	15

加密讯息的最后一部，为查表求得对应字母的数值。在此范例中，加密文本应为 IHHWVCSWFRCP。以下表格显示仿射加密一讯息的完整表格。

原始文件:	A	F	F	I	N	E	C	I	P	H	E	R
x:	0	5	5	8	13	4	2	8	15	7	4	17
$5x+8$	8	33	33	48	73	28	18	48	83	43	28	93
$(5x+8){\pmod {26}}$	8	7	7	22	21	2	18	22	5	17	2	15
加密文件:	I	H	H	W	V	C	S	W	F	R	C	P

解密

于此解密范例中，欲解密之加密文件来自加密范例。其解密方程为 ${\mbox{D}}(y)=21(y-8){\mbox{ mod }}26$ ，经过计算， $a^{-1}$ 为 21, $b$ 为8, $m$ 为 26。伊始之时，写下加密文件中对应各字母之数值，如以下表格所示：

密文:	I	H	H	W	V	C	S	W	F	R	C	P
y:	8	7	7	22	21	2	18	22	5	17	2	15

下一步，计算 $21(y-8)$ ，再取结果除以26的余数。以下表格显示两者计算后的结果。

密文:	I	H	H	W	V	C	S	W	F	R	C	P
y:	8	7	7	22	21	2	18	22	5	17	2	15
21(y-8):	0	-21	-21	294	273	-126	210	294	-63	189	-126	147
(21(y-8)) mod 26:	0	5	5	8	13	4	2	8	15	7	4	17

解密的最后一部，借由表格将数值转回字母。解密的原始文件为 AFFINECIPHER。以下为完成解密后的表格：

加密文件：	I	H	H	W	V	C	S	W	F	R	C	P
y:	8	7	7	22	21	2	18	22	5	17	2	15
21(y-8):	0	-21	-21	294	273	-126	210	294	-63	189	-126	147
(21(y-8)) mod 26:	0	5	5	8	13	4	2	8	15	7	4	17
原文件:	A	F	F	I	N	E	C	I	P	H	E	R

全数字母加密

为求加解密更快速，可加密全数字母以将原文件之字母一对一对应至加密文件。此范例中，一对一映射如下：

原文件中字母	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
原文件中数字	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
(5x+8)mod(26)	8	13	18	23	2	7	12	17	22	1	6	11	16	21	0	5	10	15	20	25	4	9	14	19	24	3
加密文件字母	I	N	S	X	C	H	M	R	W	B	G	L	Q	V	A	F	K	P	U	Z	E	J	O	T	Y	D

程式实例

用 Python 编程语言，以下代码可用于加密罗马字母Ａ至Ｚ。

# 列印仿射密碼的字母表。
# a必須與m互質
def affine(a, b):
    for i in range(26):
        print chr(i+65) + ": " + chr(((a*i+b)%26)+65)

# 調用函數的例子
affine(5, 8)

或者以Java作例:

public void Affine(int a, int b){
	    for (int num = 0; num < 26; num++)
	      System.out.println(((char)('A'+num)) + ":" + ((char)('A'+(a*num + b)% 26)) );
	}
Affine(5,8)

或于 Pascal:

Procedure Affine(a,b : Integer);
  begin
    for num := 0 to 25 do
      WriteLn(Chr(num+65) , ': ' , Chr(((a*num + b) mod 26) + 65);
  end;

begin
  Affine(5,8)
end.

在 PHP的实现:

function affineCipher($a, $b) {
    for($i = 0; $i < 26; $i++) {
        echo chr($i + 65) . ' ' . chr(65 + ($a * $i + $b) % 26) . '<br>';
    }
}

affineCipher(5, 8);

参见

仿射变换
凯撒密码： $a=1$ 的特殊情况
Atbash code
ROT13

参考文献

^ Kozdron, Michael. Aﬃne Ciphers (PDF). [22 April 2014]. （原始内容存档 (PDF)于2016-04-09）.

外部链接

在线仿射密码计算器^{[永久失效链接]} （英文）

[1] Kozdron, Michael. Aﬃne Ciphers (PDF). [22 April 2014]. （原始内容存档 (PDF)于2016-04-09）.

[1]

A	0	5	5	F
B	1	22	22	W
C	2	39	13	N
D	3	56	4	E
E	4	73	21	V
F	5	90	12	M
G	6	107	3	D
H	7	124	20	U
I	8	141	11	L
J	9	158	2	C
K	10	175	19	T
L	11	192	10	K
M	12	209	1	B
N	13	226	18	S
O	14	243	9	J
P	15	260	0	A
Q	16	277	17	R
R	17	294	8	I
S	18	311	25	Z
T	19	328	16	Q
U	20	345	7	H
V	21	362	24	Y
W	22	379	15	P
X	23	396	6	G
Y	24	413	23	X
Z	25	430	14	O

A	0	5	5	F
B	1	22	22	W
C	2	39	13	N
D	3	56	4	E
E	4	73	21	V
F	5	90	12	M
G	6	107	3	D
H	7	124	20	U
I	8	141	11	L
J	9	158	2	C
K	10	175	19	T
L	11	192	10	K
M	12	209	1	B
N	13	226	18	S
O	14	243	9	J
P	15	260	0	A
Q	16	277	17	R
R	17	294	8	I
S	18	311	25	Z
T	19	328	16	Q
U	20	345	7	H
V	21	362	24	Y
W	22	379	15	P
X	23	396	6	G
Y	24	413	23	X
Z	25	430	14	O

A	0	5	5	F
B	1	22	22	W
C	2	39	13	N
D	3	56	4	E
E	4	73	21	V
F	5	90	12	M
G	6	107	3	D
H	7	124	20	U
I	8	141	11	L
J	9	158	2	C
K	10	175	19	T
L	11	192	10	K
M	12	209	1	B
N	13	226	18	S
O	14	243	9	J
P	15	260	0	A
Q	16	277	17	R
R	17	294	8	I
S	18	311	25	Z
T	19	328	16	Q
U	20	345	7	H
V	21	362	24	Y
W	22	379	15	P
X	23	396	6	G
Y	24	413	23	X
Z	25	430	14	O