霍奇星算子在 k -形式n -k )-形式空间建立了一个对应。一个 k -形式在这个对应下的像称为这个 k -形式的霍奇对偶 。k -形式空间的维数是
(
n
k
)
,
{\displaystyle {n \choose k},\,}
后一个空间的维数是
(
n
n
−
k
)
,
{\displaystyle {n \choose n-k},\,}
又由二项式系数 的对称性，这两个维数事实上相等。两个具有相同维数的形式空间总同构 ；但不一定有一种自然或典范的方式。但霍奇对偶性利用了向量空间内积和定向，给出了一个特定的同构，因此在代数上这反应了二项式系数的性质。这也在 k -形式空间上诱导了一个内积。“自然”定义意味着这个对偶性关系在理论中可起几何作用。
第一个有趣的情形是在三维欧几里得空间 V 。在这种情形，帕斯卡三角形 相关行是
1, 3, 3, 1 霍奇对偶在两个三维空间之间建立起一个同构，一个是 V 自己，另一个是 V 中两个向量的楔积 。具体细节参见例子 一节。叉积只是三维的特殊性质，但霍奇对偶在所有维数都有效。
由于一个向量空间上 k 个变量的交错线性形式空间自然同构于那个向量空间上的 k -向量空间的对偶 ，霍奇对偶也能对这些空间定义。与线性代数的大部分构造一样，霍奇对偶可以扩张到一个向量丛 。这样的霍奇对偶特别常见的是在余切丛的外代数（即流形上的微分形式）上，可用来从外导数 构造余微分 （codifferential ），以及拉普拉斯-德拉姆算子 ，它导致了紧 黎曼流形 上微分形式的霍奇分解 。
一个定向 内积 向量空间 V 上的霍奇星算子 是 V 的外代数 （
Λ
(
V
)
{\displaystyle \Lambda (V)}
k -向量子空间（
Λ
k
(
V
)
{\displaystyle \Lambda ^{k}(V)}
n-k )-向量子空间（
Λ
n
−
k
(
V
)
{\displaystyle \Lambda ^{n-k}(V)}
0
≤
k
≤
n
,
n
=
dim
V
{\displaystyle 0\leq k\leq n,\,n=\dim V}
e
1
,
e
2
,
⋯
,
e
n
{\displaystyle e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}}
⋆
(
e
i
1
∧
e
i
2
∧
⋯
∧
e
i
k
)
=
e
i
k
+
1
∧
e
i
k
+
2
∧
⋯
∧
e
i
n
,
{\displaystyle \star (e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}})=e_{i_{k+1}}\wedge e_{i_{k+2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{n}},}
其中
(
i
1
,
i
2
,
⋯
,
i
n
)
{\displaystyle (i_{1},i_{2},\cdots ,i_{n})}
(
1
,
2
,
…
,
n
)
{\displaystyle (1,2,\dots ,n)}
特别是我们有，
∗
(
e
1
∧
e
2
∧
⋯
∧
e
k
)
=
e
k
+
1
∧
e
k
+
2
∧
⋯
∧
e
n
.
{\displaystyle *(e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k})=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \dots \wedge e_{n}.}
使用指标记法，霍奇对偶由缩并 一个 k -形式与 n -维完全反对称列维-奇维塔张量 的指标得到。这不同于列维-奇维塔符号 有一个额外因子 (det g )½ ，这里 g 是一个内积（如果 g 不是正定的，比如洛伦兹流形 的切空间，则取行列式的绝对值）。
从而有
(
∗
η
)
i
1
,
i
2
,
…
,
i
n
−
k
=
1
k
!
η
j
1
,
…
,
j
k
|
det
g
|
ϵ
j
1
,
…
,
j
k
,
i
1
,
…
,
i
n
−
k
,
{\displaystyle (*\eta )_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n-k}}={\frac {1}{k!}}\eta ^{j_{1},\ldots ,j_{k}}\,{\sqrt {|\det g|}}\,\epsilon _{j_{1},\ldots ,j_{k},i_{1},\ldots ,i_{n-k}},\,}
这里 η 是任意一个反对称 k 阶张量。利用在定义列维-奇维塔张量中同一个内积 g 上升和下降指标。当然也可以对任何张量取星号，所得是反对称的，因为张量的对称分量在与完全反对称列维-奇维塔张量缩并时完全抵消了。
星算子一个常见例子是在 n = 3，可以做为 3 维向量与斜对称矩阵 之间的对应。这不明显地使用于向量分析 中，例如由两个向量的楔积 产生叉积 向量。具体地说，对欧几里得空间 R 3 ，容易发现
∗
d
x
=
d
y
∧
d
z
{\displaystyle *\mathrm {d} x=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
和
∗
d
y
=
d
z
∧
d
x
{\displaystyle *\mathrm {d} y=\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x}
以及
∗
d
z
=
d
x
∧
d
y
{\displaystyle *\mathrm {d} z=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
这里 dx 、dy 与 dz 是 R 3 上的标准正交微分1-形式 。霍奇对偶在此情形显然对应于三维中的叉积。
当 n = 4 时，霍奇对偶作用在第二外幂（6 维）上是自同态 。它是一个对合 ，从而可以分解为子对偶与反自对偶子空间，在这两个子空间上的作用分别为 +1 和 -1。
另一个有用的例子是 n = 4 闵可夫斯基时空 ，具有度量符号为 (+,-,-,-,) 与坐标 (t,x,y,z )，对1-形式 有
∗
d
t
=
d
x
∧
d
y
∧
d
z
{\displaystyle *\,\mathrm {d} t=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
∗
d
x
=
d
t
∧
d
y
∧
d
z
{\displaystyle *\,\mathrm {d} x=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
∗
d
y
=
−
d
t
∧
d
x
∧
d
z
{\displaystyle *\,\mathrm {d} y=-\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z}
∗
d
z
=
d
t
∧
d
x
∧
d
y
{\displaystyle *\,\mathrm {d} z=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
对2-形式 有
∗
d
t
∧
d
x
=
−
d
y
∧
d
z
{\displaystyle *\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x=-\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
∗
d
t
∧
d
y
=
d
x
∧
d
z
{\displaystyle *\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z}
∗
d
t
∧
d
z
=
−
d
x
∧
d
y
{\displaystyle *\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z=-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
∗
d
x
∧
d
y
=
d
t
∧
d
z
{\displaystyle *\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z}
∗
d
x
∧
d
z
=
−
d
t
∧
d
y
{\displaystyle *\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z=-\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y}
∗
d
y
∧
d
z
=
d
t
∧
d
x
{\displaystyle *\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x}
霍奇对偶在 k -向量空间上诱导了一个内积，即在 V 的外代数 上。给定两个 k -向量
η
{\displaystyle \eta }
ζ
{\displaystyle \zeta }
ζ
∧
∗
η
=
⟨
ζ
,
η
⟩
ω
,
{\displaystyle \zeta \wedge *\eta =\langle \zeta ,\eta \rangle \;\omega ,\,}
这里 ω 是正规化的体积形式 。可以证明
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
内积 ，它是半双线性 的，并定义了一个范数 。反之，如果在
Λ
k
(
V
)
{\displaystyle \Lambda ^{k}(V)}
[ 1]
本质上，V 的正交基元素的楔积组成了 V 的外代数的一个正交基。当霍奇星号扩张到流形上，可以证明体积形式能写做
ω
=
|
det
g
i
j
|
d
x
1
∧
…
∧
d
x
n
,
{\displaystyle \omega ={\sqrt {|\det g_{ij}|}}\;dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n},\,}
其中
g
i
j
{\displaystyle g_{ij}}
度量 。
当作用两次时霍奇星号定义了一个对偶，不考虑符号的话，所得结果是外代数上一个恒等式。给定 n -维空间 V 上一个 k -向量
η
∈
Λ
k
(
V
)
{\displaystyle \eta \in \Lambda ^{k}(V)}
∗
∗
η
=
(
−
1
)
k
(
n
−
k
)
s
η
,
{\displaystyle **\eta =(-1)^{k(n-k)}s\;\eta ,\,}
这里 s 与 V 上内积的符号 有关。具体说，s 是内积张量行列式 的符号。例如，如果 n = 4 时，若内积的符号是 (+,-,-，-) 或 (-,+,+,+) 则 s = -1。对普通的欧几里得空间，符号总是正的，所以 s = +1。在普通向量空间，这一般不是一个问题。当霍奇星号扩张到伪-黎曼流形上时，上面的内积理解为对角形式的度量。
在一个 n -维定向黎曼 或伪黎曼 流形上每一点的切空间 上可以重复如上构造，将得到 k -形式霍奇对偶 ，是一个 n- k 形式。霍奇星号在流形上的微分形式上诱导了一个 L2 -范数 。对
Λ
k
(
M
)
{\displaystyle \Lambda ^{k}(M)}
空间截面
η
{\displaystyle \eta }
ζ
{\displaystyle \zeta }
(
η
,
ζ
)
=
∫
M
η
∧
∗
ζ
.
{\displaystyle (\eta ,\zeta )=\int _{M}\eta \wedge *\zeta .\,}
（截面的集合通常记做
Ω
k
(
M
)
=
Γ
(
Λ
k
(
M
)
)
{\displaystyle \Omega ^{k}(M)=\Gamma (\Lambda ^{k}(M))}
k -形式。）
更一般地，在非定向情形，我们可以定义 k -形式的霍奇星号维一个 (n - k )-伪微分形式 ；即取值于典范线丛 的一个微分形式。
霍奇星号在流形上最重要的应用是用来定义余微分 δ。令
δ
=
(
−
1
)
n
k
+
n
+
1
∗
d
∗
{\displaystyle \delta =(-1)^{nk+n+1}*d*\,}
这里 d 是外导数 。对黎曼流形 s = +1 。
d
:
Ω
k
(
M
)
→
Ω
k
+
1
(
M
)
,
{\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M),\,}
而
δ
:
Ω
k
(
M
)
→
Ω
k
−
1
(
M
)
.
{\displaystyle \delta :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M).\,}
相比于外导数，余微分不是外代数上的反导子 。
余微分在是外微分的伴随 ：
⟨
δ
ζ
,
η
⟩
=
⟨
ζ
,
d
η
⟩
.
{\displaystyle \langle \delta \zeta ,\eta \rangle =\langle \zeta ,d\eta \rangle .\,}
这个恒等式是因为体积形式 ω 满足 d ω = 0，从而
∫
M
d
(
ζ
∧
∗
η
)
=
0.
{\displaystyle \int _{M}d(\zeta \wedge *\eta )=0.\,}
拉普拉斯–德拉姆 算子由
Δ
=
δ
d
+
d
δ
{\displaystyle \Delta =\delta d+d\delta }
给出，是霍奇理论 的核心。它有对称性：
⟨
Δ
ζ
,
η
⟩
=
⟨
ζ
,
Δ
η
⟩
,
{\displaystyle \langle \Delta \zeta ,\eta \rangle =\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle ,\,}
以及非负：
⟨
Δ
η
,
η
⟩
≥
0.
{\displaystyle \langle \Delta \eta ,\eta \rangle \geq 0.\,}
霍奇星号将一个调和形式变成调和形式。作为霍奇定理 的一个推论，德拉姆上同调 自然同构于调和 k -形式空间，从而霍奇星号诱导了上同调群之间一个同构
⋆
:
H
Δ
k
(
M
)
→
H
Δ
n
−
k
(
M
)
,
{\displaystyle \star :H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),\,}
通过庞加莱对偶性 ，这给出了 H k (M ) 与它的对偶空间 的一个典范等价。
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation , (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0 . (Provides a basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional space-time.)
Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis , (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 . (Provides a detailed exposition starting from basic principles, but does not treat the pseudo-Riemannian case).
David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles , (1981) Addison-Wesley Publishing, New York' ISBN 0-201-10096-7 . (Provides condensed review of non-Riemannian differential geometry in chapter 0). 
