依赖选择公理

在数学上，依赖选择公理（${\mathsf {DC}}$，英语：Axiom of dependent choice）是选择公理（${\mathsf {AC}}$）较弱的版本，但依赖选择公理依旧足以发展实分析绝大多数的内容。依赖选择公理最早由保罗·伯奈斯于1942年一篇讨论哪些集合论公理对发展数学分析是必要的文章中引入。

正式描述

若一个$X$上的齐次关系$R$被称作全关系，则对于所有的$a\in X,$而言，皆存在有一个$b\in X$，使得$a\,R~b$成立。

依赖选择公理的表述如下： 对于任意非空集合$X$及任意$X$上的全关系$R$而言，皆存在有一个$X$上的序列$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，使得以下陈述成立：

对于任意的$n\in \mathbb {N} .$而言，$x_{n}\,R~x_{n+1}$

若限制上述的$X$为所有实数的集合，那相关公理可表记为${\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }.$

应用

即使在没有这条公理的状况下，对于任意的$n$，依旧可用一般的数学归纳法造出如此序列的最前面$n$项；而依赖选择公理说的是我们可用此种方式造出整个（可数无限的）序列。

${\mathsf {DC}}$这条公理是${\mathsf {AC}}$的片断，而在“必须于每一步都做出选择”且“一些选择无法在不仰赖先前选择的情形下独立做出”的状况下证明“存在有可以可数长度的超限递归建构的序”列时，这条公理是必须的。

等价陈述

在策梅洛-弗兰克尔集合论${\mathsf {ZF}}$的框架下，${\mathsf {DC}}$等同于完备度量空间上的贝尔纲定理。

在${\mathsf {ZF}}$的框架下，这公理也等价于勒文海姆–斯科伦定理。

${\mathsf {DC}}$在${\mathsf {ZF}}$的框架下也与“所有有$\omega$层且剪枝过的树都有分支”这陈述等价。

不仅如此，${\mathsf {DC}}$也与弱化版的佐恩引里等价；特别地，${\mathsf {DC}}$与“任何使得所有良序链都有限且有界的偏序，都必然有极大元素”这叙述等价。

$\,{\mathsf {DC}}\iff$ 所有有ω层且剪枝过的树都有分支的证明

$(\,\Longleftarrow \,)$设$R$是$X$上的完整二元关系（entire binary relation），那么此处的策略是定义一棵$X$上有限序列的树$T$，而这棵树的邻近元素满足$R$这关系。在这种状况下，$T$的其中一个分支是邻近元素满足$R$这关系的无限序列。我们先从定义“若对于$0\leq k<n.$而言，$x_{k}R\,x_{k+1}$，则$\langle x_{0},\dots ,x_{n}\rangle \in T$”开始，由于$R$是完整二元关系之故，因此$T$是一棵具有$\omega$层且剪枝过的树，因此$T$有$\langle x_{0},\dots ,x_{n},\dots \rangle .$这分支，因此对于所有的$n\geq 0\!:$而言，$\langle x_{0},\dots ,x_{n},x_{n+1}\rangle \in T,$，而这蕴含了$x_{n}R\,x_{n+1}.$，因此${\mathsf {DC}}$为真。 $(\,\Longrightarrow \,)$ 设$T$是一棵位于$X$上具有$\omega$层的剪枝过的树，那么此处的策略是定义$T$上的二元关系$R$，而这关系使得${\mathsf {DC}}$导出$t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{f(n)}\rangle$这样的序列，而在这序列中，$t_{n}R\,t_{n+1}$且$f(n)$是一个严格递增函数；而在这种状况下，无穷序列$\langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle$是一个分支。（要证明这点，只需要对$f(n)=m+n.$进行证明）我们先定义“若$u$是$v$的始序列（initial subsequence），且$\operatorname {length} (u)>0,\,$且$\operatorname {length} (v)=$ $\operatorname {length} (u)+1.$，则$u\,R\,v$”开始，由于$T$是一棵具有$\omega$层的剪枝过的树枝故，所以$R$是个完整关系；因此${\mathsf {DC}}$蕴含说存在有无限序列$t_{n}$使得$t_{n}\,R\,t_{n+1}$，因此对于一些$m\geq 0.$而言，$t_{0}=\langle x_{0},\dots ,x_{m}\rangle$。设$x_{m+n}$$t_{n}.$的最终元素，那么$t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{m},\dots ,x_{m+n}\rangle .$。对于所有的$k\geq 0,$而言$\langle x_{0},\dots ,x_{k}\rangle$这序列属于$T$。由于这是$t_{0}\,(k\leq m)$的的始序列，或者是一个$t_{n}\,(k\geq m)$之故，因此$\langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle$是一个分支。

与其他公理的关系

和完整版的${\mathsf {AC}}$不同的是，${\mathsf {DC}}$在${\mathsf {ZF}}$的框架下，不足以证明说有些实数集是不可测集，也不足以证明有些实数集合不具有贝尔性质或完美集性质；而由于梭罗维模型满足${\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}$，且在此模型中所有的实数集合都是勒贝格可测集、都具有贝尔性质和完美集性质之故，因此这说法成立。

依赖选择公理蕴含可数选择公理，且严格强于可数选择公理。

参考资料

• Jech, Thomas. Set Theory Third Millennium. Springer-Verlag. 2003. ISBN 3-540-44085-2. OCLC 174929965. Zbl 1007.03002.