交换代数中,一个环的克鲁尔维数定义为素理想链的最大长度。此概念依数学家 Wolfgang Krull(1899年-1971年)命名。

定义

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设交换环   中有  素理想  ,使得

 

则称之为长度为  素理想链,一个无法插入新的素理想的链被称作极大的。 克鲁尔维数定义为素理想链的最大可能长度,这也等于是   中素理想的最大可能高度

根据定义,   的维数与对素理想的局部化有下述关系

 

其中    的所有素理想所成集合。我们也可以仅考虑为极大理想 。当  链环时,对各极大理想的局部化皆有相同维数;代数几何处理的交换环通常都是链环。

例子与性质

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例如在环   中可考虑以下的素理想链

 

因此  ;事实上可证明其维数确实为 3。以下是克鲁尔维数的几个一般性质:

  • 零维的整环
  • 离散赋值环戴德金整环是一维的。
  •  ,则  ;当  诺特环时则  
  •  ,则  
  •   -代数,同时又是有限生成的  -模,则  

与几何的关系

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代数几何中,一个概形的维数被定义为各局部环的克鲁尔维数的上确界;对于仿射概形  ,则回归到  

  为域,  是有限型  -整代数,这是代数几何中的主要案例。根据诺特正规化引理,存在非负整数    中彼此代数独立的元素   ,使得   是有限生成之  -模,因此  。从几何观点看,  此时是   的有限分歧覆盖,因而克鲁尔维数确实合乎下述几何直观:

  1.  
  2.   是分歧覆盖,则  

特别是当   时,代数簇的克鲁尔维数等于复几何中定义的维数。

文献

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