凝聚层

在数学中，尤其是代数几何与复流形理论里，凝聚层是一类特别容易处理的层。凝聚层的定义指涉到一个环层（例如一个概形的结构层、复流形上的全纯函数层或 D-模），此环层蕴藏了所论空间的几何性质。相关的概念还有拟凝聚层与有限展示层。代数几何与复解析几何里的许多性质与定理都以凝聚层及其上同调表述。

凝聚层可被视作向量丛截面层的推广。它们构成的范畴在取核、上核、有限直和等操作下封闭。此外，若底空间满足合宜的紧致条件，则凝聚性在底空间的映射下保持不变，且具有有限维的层上同调群。交换代数里的一些定理也能应用于凝聚层，如中山正引理。

定义

一个凝聚层是赋环空间$(X,{\mathcal {O}}_{X})$上的一个${\mathcal {O}}_{X}$-模 ${\mathcal {F}}$，满足下述性质：

1. ${\mathcal {F}}$ 在${\mathcal {O}}_{X}$上是有限型的，即：对任一点$x\in X$，存在其邻域$U\subset X$使得 ${\mathcal {F}}|_{U}$ 可由有限多个截面生成（换言之，存在正合序列${\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0$）。
2. 对任意开集 $U\subset X$，任意 $n\in \mathbb {N}$及任意${\mathcal {O}}_{X}$-模的态射$\phi \colon {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}$，其核是有限型的。

环层${\mathcal {O}}_{X}$是凝聚层当且仅当它自身作为一个${\mathcal {O}}_{X}$-模是个凝聚层。

凝聚层必定是有限展示的：即对任一点$x\in X$都存在其开邻域$U$、正整数$m,n$以及一个正合序列：

${\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0$

反之则不然，除非要求${\mathcal {O}}_{X}$是凝聚环层。

拟凝聚层的定义更弱：我们仅要求对任一点$x\in X$都存在开邻域$U$，索引集$I,J$（可能是无限集）及一个正合序列： ${\mathcal {O}}_{X}^{I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0$

基本性质

对一个仿射簇$X=\mathrm {Spec} (R)$，${\mathcal {F}}\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {F}})$给出从拟凝聚层到 $R$-模的范畴等价；若$R$是诺特环，则凝聚层恰对应至有限生成的$R$-模。

凝聚层的概念较局部自由层（换言之，向量丛的截面层）广，但仍然很容易操作，这在考虑核与上核时特别有利，因为局部自由层在这些操作下并不封闭。形式地说：给定一个短正合序列，只要其中任两个层是凝聚层，则令一个也必然是凝聚层；在${\mathcal {O}}_{X}$-模的范畴里，凝聚层是满足上述条件并包含${\mathcal {O}}_{X}$的最小满范畴。因此就同调代数的观点看，凝聚层是最自然的范畴之一。

凝聚层的例子

• 诺特概形的结构层
• 向量丛的截面层
• 理想层：若$X$是复解析空间而$Z$是其闭子空间，令${\mathcal {I}}_{Z}$表所有在$Z$上消没的全纯函数，称作$Z$在$X$里的理想层，则${\mathcal {I}}_{Z}$是凝聚层。对诺特概形及其闭子概形亦同。
• 闭子空间的结构层
• 复流形$X$上的微分算子环${\mathcal {D}}_{X}$，这是个非交换的环层。

凝聚上同调

凝聚层的层上同调理论称作凝聚上同调，这是层论最大也最有效的应用之一，其结果可用以诠释古典的代数几何及复流形理论，其证明却更简洁明快。

基于 Schwartz 先前的工作，昂利·嘉当与让-皮埃尔·塞尔证明了紧复流形上的凝聚上同调是有限维的，小平邦彦先前曾证明了向量丛的情形。当时这套理论的用处还不甚明朗。塞尔证明了这个定理的代数版本。亚历山大·格罗滕迪克证明了一个代数框架下的相对版本，解析版本则由 Grauert 与 Remmert 证出。举例明之：格罗滕迪克的结果是考虑函子$R^{\cdot }f_{*}$（这是层的正像函子的右导函子）； 若$f$是概形间的真态射，则此函子保持凝聚性。取$f$为一个$k-$射影概形到$\mathrm {Spec} (k)$的态射，便得到塞尔先前的结果。

文献

• Hans Grauert, Reinhold Remmert, Coherent Analytic Sheaves. Springer-Verlag, Berlin 1984. ISBN 3-540-13178-7
  Allgemeines: Anhang, §3; Kohärenz der Strukturgarbe: Kap. 2, §5; direkte Bilder: Kap. 10, §4
• Alexander Grothendieck|A. Grothendieck, Jean Dieudonné|J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)
  Allgemeines: 0_I, 5.3; direkte Bilder: III, 3.2