分圆多项式

$n$ 次分圆多项式，是指多项式 $x^{n}-1$ 分解因式结果中的一个特定多项式 $f(x)$，满足 $f(x)=0$ 的解都不是低于 $n$ 次的形如 $x^{n}-1=0$ 的方程的解。

n次的分圆多项式的根是 $\mathrm {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi k}{n}}$（对所有满足 $\gcd(k,n)=1$ 的整数 $k$）。

例子

下表是几个次数较低的分圆多项式。

次数	对应的分圆多项式
1	$x-1$
2	$x+1$
3	$x^{2}+x+1$
4	$x^{2}+1$
5	$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$
6	$x^{2}-x+1$
7	$x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$
8	$x^{4}+1$
9	$x^{6}+x^{3}+1$
10	$x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$
11	$x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$
12	$x^{4}-x^{2}+1$

性质

基础性质： 分圆多项式是整系数的不可约多项式，对于 $x^{n}-1$ 的分圆多项式 $f(n)$ ，有 $f(n)$ 的次数为 $\varphi (n)$，其中 $\varphi (n)$ 是欧拉函数。

计算： 对于n为质数的分圆多项式，我们有： $f\left(x\right)=1+x+x^{2}+...+x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}$