分布滞后

分布滞后（英语：distributed lag，又称落差分配）的模型在统计学与计量经济学里是一种时间序列模型，模型的回归式依据当期与前期解释变数的值预估因变数的值。

分布滞后模型源自于下列形式的假设结构

$y_{t}=a+w_{0}x_{t}+w_{1}x_{t-1}+w_{2}x_{t-2}+...+{\text{error term}}$

或

$y_{t}=a+w_{0}x_{t}+w_{1}x_{t-1}+w_{2}x_{t-2}+...+w_{n}x_{t-n}+{\text{error term}},$

其中 y_t 是因变数 y 在第 t 期的值，a 是需估计的截距项，而 w_i 称为落差权重（亦需估计），置于前 i 期解释变数 x 的前面。第一条方程式假设因变数的值会受到过去无数期自变数的值所影响，因此有无数个落差权重（lag weights），故称为无穷落差分配模型（infinite distributed lag model）。相对的，第二条方程式的落差权重个数有限，假设一定期数前的自变数就不会影响因变数的值；基于这种假设的模型就称为有限落差分配模型（finite distributed lag model）。

无穷落差分配模型需要估计无数个落差项的权重；显然只有假设各落差权重之间的关系存在某种结构，才能以有限的假设参数表达无数个落差权重。有限落差分配模型的参数可以直接使用一般最小平方法（ordinary least squares）估计（假设有足够的资料）；然而估计结果可能会因为各期自变数间的多重共线性而失真，或许还是一样需要假设各落差权重之间的关系存在某种结构。

落差分配模型的右手侧很容易扩充为一个以上的解释变数。

非结构化估计

一般最小平方法是估计落差分配之参数最简单的方法，假设最多回顾 $P$ 期落差项，假设误差项为独立同分配，且各期落差项的系数之间没有结构关系。然而各期落差项间经常出现多重共线性，导致估计出来的系数失真。

结构化估计

落差项的系数之间有结构关系的落差分配模型分为两类：无穷跟有限。无穷落差分配之自变数的值会永无止境地影响未来所有的因变数，换句话说，因变数的值会受到之前所有自变数的值无远弗届的影响；但时间（落差）超过一定长度后影响逐渐趋近于零。有限时间落差分配之自变数的值只会影响未来几期的因变数。

有限落差分配

最重要的有限落差分配模型是 Almon落差模型。这个模型由资料本身决定落差结构的型态，但研究人员必须指定最长的时间（落差）；长度不正确会扭曲落差结构的型态与自变数的累积效应。Almon 假设第 k+1 个落差权重与下列式子当中 n+1 个线性的可估计参数(n<k) a_j 有关

$w_{i}=\sum _{j=0}^{n}a_{j}i^{j}$

其中 $i=0,\dots ,k.$

无穷落差分配

最常见的无穷落差模型结构为几何落差（geometric lag），也称为 Koyck lag。这种落差结构之自变数的权重(影响程度)随着时间(落差)长度增加呈指数下降；虽然这种落差结构的型态固定，但下降率与整体影响程度都由资料本身决定。其回归式非常直觉：以前期的因变数与当期的自变数作为解释变数（回归式的右手侧）

$y_{t}=a+\lambda y_{t-1}+bx_{t}+{\text{error term}}.$

如果模型设定正确，系数 $\lambda$ 的值会介于 0 与 1 之间或等于 0。此模型自变数的短期(当期)影响为 b，长期(累积)影响可以写成 $b+\lambda b+\lambda ^{2}b+...=b/(1-\lambda ).$

为了能够由资料本身决定落差结构的型态，因而提出其它无穷落差分配模型。Polynomial inverse lag 假设落差权重与下列式子当中线性的可估计参数 a_j 有关

$w_{i}=\sum _{j=2}^{n}{\frac {a_{j}}{(i+1)^{j}}},$

其中 $i=0,\dots ,\infty .$

Geometric combination lag假设落差项的权重与下列式子当中线性的可估计参数 a_j 有关

$w_{i}=\sum _{j=2}^{n}a_{j}(1/j)^{i},$

其中 $i=0,\dots ,\infty$ 或

$w_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}[j/(n+1)]^{i},$

其中 $i=0,\dots ,\infty .$

其它无穷落差分配结构还有 gamma lag 与 rational lag。

参阅

• ARMA模型
• Mixed-data sampling