分支切割法

分支切割法是用于解决整数线性问题（ILPs），即部分或全部未知数为整数值的线性规划（LP）的问题的组合优化方法。该方法在分支定界法的基础上，使用切割平面以收紧线性规划松弛。如果切割平面仅用来收紧初始的 LP 松弛，则改称为切割分支法。

算法描述

以下假设 ILP 问题为最大化问题。

该方法首先使用单纯形法解决无整数约束的线性问题。获得最优解后，如果有约束为整数的变量取了非整数值，该算法会使用切割平面法以寻找进一步的线性约束：所有可行的整数点满足该约束，但目前的最优解不满足该约束。随后这些约束不等式可以加入线性问题中，使得下次求解可以获得“更接近整数”的结果。

在此基础上，算法使用分支定界法，将该问题分割为多个（通常为两个）子问题。随后使用单纯形法求解新的子问题，重复该过程。在分支定界的过程中，LP 松弛问题的非整数解为解的上限，整数解为解的下限。如果一个子问题的上限低于当前的全局下限，则可以除去该子问题。此外，在求解 LP 松弛问题时，可能产生其他切割平面。这些平面既可能是全局切割，即适用于所有可行的整数解的切割；或局部切割，即适用于当前分支定界子树下所有满足边界约束的解的切割。

算法概括如下：

1. 将原 ILP 问题加入活跃问题列表 $L$ 中。
2. 取 $x^{*}={\text{null}}$ , $v^{*}=-\infty$。
3. 当 $L$ 非空时
   1. 从 $L$ 中选择一个问题，并将其移出 L 。
   2. 解该问题的 LP 松弛问题。
   3. 如果该解不可行，返回第 3 步重新开始。如果该解可行，获得解 $x$ 及目标函数值 $v$。
   4. 如果 $v\leq v^{*}$, 返回第 3 步。
   5. 如果 $x$ 为整数，令 $v^{*}\leftarrow v,x^{*}\leftarrow x$ ，返回第 3 步。
   6. 如有需要，寻找使 $x$ 不满足约束的切割平面。如果能找到相应平面，则将其加入 LP 松弛问题中，返回第 3.2 步。
   7. 进行分支，使得原问题分为可行空间更小的子问题。将这些问题加入 $L$ 中，返回第 3 步。
4. 返回 $x^{*}$ 值。

分支策略

分支策略是分支切割算法中的重要一步。在这一步中，可以使用多种启发式分支策略。下述分支策略都包含在变量上分支。在变量上分支的大致过程为：如果变量 $x_{i}$ 在当前的 LP 松弛问题的最优解中为分数 $x_{i}'$ ，则向松弛问题中加入约束 $x_{i}\leq \lfloor x_{i}'\rfloor$ ， $x_{i}\geq \lceil x_{i}'\rceil$ 。

最不可行分支

该策略优先选择小数部分最接近 0.5 的变量。

伪成本分支

该策略的基本思想是当变量 $x_{i}$ 被选作分支变量时，追踪目标函数的变化。基于过去的变化情况，该策略会选择预计对目标函数产生最大变化的变量作为分支变量。注意，在最初分支时，只有几个变量进行过分支，该策略会面临所需信息不足的情况。

强健分支

该策略在实际分支前将对变量进行测试，以确定哪个变量对目标函数的变化影响最大。完全强健分支会测试所有候选变量，计算成本很高。可以通过只考虑一部分候选变量，并不完全解出所有对应的 LP 松弛，来降低计算成本。

除了以上几种策略外，还存在大量其他的分支策略，比如伪成本分支所需的信息不足时先采用强壮分支，在获得足够的分支历史后切换到伪成本分支。

外部链接

• Mixed Integer Programming
• SCIP （页面存档备份，存于互联网档案馆） Branch-cut-and-price 框架，及混合整数规划求解器
• ABACUS - A Branch-And-CUt System 开源软件
• COIN-OR Cbc 开源软件