分离变量法

(重定向自分离变量法

数学上,分离变量法是一种解析常微分方程偏微分方程的方法。使用这方法,可以藉代数来将方程式重新编排,让方程式的一部分只含有一个变量,而剩余部分则跟此变量无关。这样,隔离出的两个部分的值,都分别等于常数,而两个部分的值的代数和等于零。

常微分方程

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假若,一个常微分方程可以写为

 

设定变量   。那么,

 (1)

只要是   ,就可以将方程式两边都除以   ,再都乘以  

 

这样,可以将两个变量    分离到方程式的两边。由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关,表达式恒等于常数   。因此,可以得到两个较易解的常微分方程;

 

第二种方法

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有些不喜欢用莱布尼茨标记英语Leibniz's notation的数学家,或许会选择将公式 (1) 写为

 

这写法有一个问题:无法比较明显的解释,为什么这方法叫作分离变量法?

随着   积分公式的两边,可以得到

 (2)

应用变量积分法

 

假如,可以求算这两个积分,则这常微分方程有解。这方法允许将导数   当做可分的分式看待,可以较方便的解析可分的常微分方程。这在实例 (II)的解析里会有更详细的解释,

实例 (I)

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常微分方程式   可以写为

 (3)

其中, 

设定    。套用公式 (1) ,这常微分方程式是可分的。

进一步编排,则

 

变量    分别在公式的两边。将两边积分,

 

积分的结果是

 

其中,  是个积分常数。稍加运算,则可得

 

在这里,检查此解答的正确与否。计算导数   。答案应该与原本的问题相同。(必须仔细地计算绝对值。绝对符号内不同的正负值,分别地造成了   的正值与负值。而当   时,  )。

特别注意,由于将公式 (3) 的两边除以    ,必须检查两个函数    是否也是常微分方程式的解答(在这个例子里,它们都是解答)。参阅奇异解英语singular solution

实例 (II)

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人口数值的成长时常能够用常微分方程来表达

 

其中,  是人口数值函数,  是时间参数,   是成长的速率,  环境的容纳能力。

将方程式的两边都除以  .再随着时间   积分,

 

应用变量积分法

 

稍微运算,则可得

 

其中,  是常数。

偏微分方程

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给予一个   元函数  偏微分方程,有时候,为了将问题的偏微分方程式改变为一组常微分方程,可以猜想一个解答;解答的形式为

 

或者

 

时常,对于每一个自变量   ,都会伴随着一个分离常数。如果,这个方法成功,则称这偏微分方程为可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。

实例 (III)

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假若,函数   的偏微分方程为

 

猜想解答为

 

那么,

 

因为   只含有    只含有    只含有   ,这三个函数的导数都分别必须等于常数。更明确地说,将一个偏微分方程改变为三个很简单的常微分方程:

 
 
 

其中,  都是常数, 

偏微分方程的答案为

 

其中,  是常数。

实例 (IV)

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思考一个典型的偏微分方程,

 

首先,猜想答案的形式为

 

代入偏微分方程,

 

或者,用单撇号标记,

 

将方程式的两边除以   ,则可得

 

由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关,表达式恒等于常数  

 

因此,可以得到两个新的常微分方程式:

 
 

这两个常微分方程式都是齐次的二阶线性微分方程。假若,  ,则这两个常微分方程都是用来表达谐振问题的方程式。解答为

 
 

其中,  是振幅常数,  是相位常数。这些常数可以由边界条件求得。

参阅

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参考文献

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  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9