权重

权重函数（英语：Weight function）是执行求和、求积或求平均值等时候用来给不同元素施加不同权重的函数。

应用权重函数的结果是加权和或加权平均值。权重函数在统计学和分析学中经常出现，并且与测度的概念密切相关。权重函数可用于离散和连续的设置，构建称为加权微积分或元微积分的微积分系统。

在量测时，因测量值精度的不同，而在平差计算中采取的权重不同；若测量值的精度较高，则平差计算时也应占有较高的“比重”，平差法将它称为“权”。

权的基本公式

求权的基本公式为

$p_{i}={\frac {\mu ^{2}}{m_{i}^{2}}}(i=1,2\ldots )$

式中，$\mu$是任意常数，$m_{i}$是中误差。由此可见，权与中误差平方成反比，即精度越高，权越大。应用上式求一组观测值的权$p_{i}$时，必须采用同一个$\mu$值。

由该定义式，可以看出，当$m_{i}=\mu$时，$p_{i}=1$，所以$\mu$是权等于1的观测值的中误差，通常称权等于1的权为单位权，权为1的观测值为单位权观测值。而$\mu$为单位权观测值的中误差，简称为单位权中误差。

可以写出各观测值的权之间的比例关系：

$p_{1}:p_{2}:\dots :p_{n}={\frac {\mu ^{2}}{m_{1}^{2}}}:{\frac {\mu ^{2}}{m_{2}^{2}}}:\ldots :{\frac {\mu ^{2}}{m_{n}^{2}}}={\frac {1}{m_{1}^{2}}}:{\frac {1}{m_{2}^{2}}}:\ldots :{\frac {1}{m_{n}^{2}}}$

可知，一组观测值的权之比等于他们的中误差平方的倒数之比。不论假设$\mu$取何值，这组权之间的比例关系不变。所以，权反映了观测值之间的相互精度关系。就计算p值来说，不在乎权本身数值的大小，而在于确定他们之间的比例关系。$m_{i}$可以是同一个量的观测中误差，也可以是不同量的观测中误差，即权可以反映同一量的若干个观测值之间的精度高低，也可以反映不同量的观测值之间的精度高低。

普通测量中的定权

同精度丈量时，边长的权与边长成反比。

当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测高差的权与路线长度成反比。

当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测高差的权与测站数成反比。

由不同个数的同精度观测值求得得算术平均值，其权与观测值个数成正比。

观测值函数的权

设有独立观测值 $L_{1},L_{2},\ldots ,L_{n}$，它们的标准差及权分别为$m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}$和$p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$。令观测值函数为：

$z=f(L_{1},L_{2}\ldots L_{n})$

由误差传播及定权公式，得

${\frac {\mu ^{2}}{p_{z}}}=\left({\frac {\partial f}{\partial L_{1}}}\right)^{2}{\frac {\mu ^{2}}{p_{1}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial L_{2}}}\right)^{2}{\frac {\mu ^{2}}{p_{1}}}+\ldots +\left({\frac {\partial f}{\partial L_{n}}}\right)^{2}{\frac {\mu ^{2}}{p_{n}}}$

式中$\left({\frac {\partial f}{\partial L_{n}}}\right)$是常量，用$f_{i}$表示，上式约去$\mu ^{2}$后得

${\frac {1}{p_{z}}}=f_{1}^{2}{\frac {1}{p_{1}}}+f_{2}^{2}{\frac {1}{p_{2}}}+\ldots +f_{n}^{2}{\frac {1}{p_{n}}}=\left[{\frac {ff}{p}}\right]$

这就是独立观测值权倒数与其函数权倒数之间关系的表达式。这个表达式成为权倒数传播律。

广义算术平均值的权，等于观测值权之和。

$p_{x}=[p]$