勒贝格微分定理

数学上,勒贝格微分定理实分析的一条定理。这条定理大致是说,一个局部可积函数在几乎每点的值,都是函数在该点为中心的无限小的球上的平均。换言之,该函数的定义域上几乎处处都是勒贝格点

定理叙述

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 为实值或复值的局部可积函数,m 勒贝格测度。那么 几乎处处x都符合

 

使上式成立的点称为 勒贝格点

证明

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因为这定理是关于函数的局部性质,不失一般性,可假设函数f定义在有界集合中,故f为可积函数。

定义

 
 

那么这定理就是对几乎处处的xTf = 0。只需证对任何y > 0,集合{Tf > y}的测度为零。

连续函数,这定理显然成立。连续函数在 稠密,故此对任意正整数n,有连续函数g使得 

 。由于g连续,有Tg = 0。

三角不等式

 

 。(Mhh哈代-李特尔伍德极大函数。)从上式得

 

因为 ,所以有

 

Tf > y,则有Mh > y/2或者|h| > y/2。因此 

哈代-李特尔伍德极大不等式

 

由积分的基本性质有

 

故得

 

因此

 

因为上式对所有正整数n成立,从而知m{Tf > y}=0。定理得证。

参考

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  • Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.