卓越数

在数论中，卓越数是正因数个数是完全数，正因数之和（包括本身）也是完全数的数^[1]。

12是最小的卓越数。其正因数有1, 2, 3, 4, 6, 12，正因数个数为6，是一个完全数。而正因数和 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28，是另一个完全数。

目前已知的卓越数只有二个，分别是12和(2¹²⁶)(2⁶¹ − 1)(2³¹ − 1)(2¹⁹ − 1)(2⁷ − 1)(2⁵ − 1)(2³ − 1) （OEIS数列A081357）.^[2]。第二个卓越数共有76位数：

6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264

其正因数的个数为(126+1)2⁶ = (2⁷-1)2⁶ = 8128，是第4个完全数

其正因数的和为(2¹²⁶⁺¹-1)2^{61+31+19+7+5+3} = (2¹²⁷-1)2¹²⁶，2¹²⁷-1是第12个梅森素数，若2ⁿ-1是梅森素数，(2ⁿ-1)2^n-1就是完全数。

参考资料

^ MathPages article, "Sublime Numbers" （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ Clifford A. Pickover, Wonders of Numbers, Adventures in Mathematics, Mind and Meaning New York: Oxford University Press (2003): 215

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