协态方程

协态方程（costate equation）和最优控制中用到的状态方程有关^[1]^[2]，也称为辅助方程、伴随方程、影响方程或是乘数方程。协态方程是向量一阶常微分方程

{\dot {\lambda }}^{\mathsf {T}}(t)=-{\frac {\partial H}{\partial x}}

其中等式的右边为哈密顿量（ $H$ ）对状态变数偏导数的负值。

解释

协态变数 $\lambda (t)$ 可以解释为状态方程相关的拉格朗日乘数。状态方程表示最小化问题中的限制条件，协态变数则是违反这些条件的边际成本，在经济学中协态变数即为影子价格^[3]。

求解

状态方程和初始条件有关，会从起始时间开始，往后求解。协态方程和边界条件有关，需从最终时间开始，往前求解。进一步的细节可参考庞特里亚金最小化原理^[4]。

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参考资料

^ Kamien, Morton I.; Schwartz, Nancy L. Dynamic Optimization Second. London: North-Holland. 1991: 126–27. ISBN 0-444-01609-0.
^ Luenberger, David G. Optimization by Vector Space Methods. New York: John Wiley & Sons. 1969: 263.
^ Takayama, Akira. Mathematical Economics. Cambridge University Press. 1985: 621.
^ Ross, I. M.（英语：I. Michael Ross） A Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control, Collegiate Publishers, 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9.

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