博雷尔求和大致上有两种形式，它们仅在适用范围上有差异；但整体上两个方法是一致的，意思是，只要能适用于同一级数，则它们必定得到同样的答案。
设A(z) 是z 的一个形式幂级数
A
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
a
k
z
k
{\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}
则定义A 的博雷尔变换 为其等价幂级数
B
A
(
t
)
≡
∑
k
=
0
∞
a
k
k
!
t
k
{\displaystyle {\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}}
设An (z) 为下列部分和 ：
A
n
(
z
)
=
∑
k
=
0
n
a
k
z
k
{\displaystyle A_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}}
博雷尔和的一种较弱的形式定义A 的博雷尔和为
lim
t
→
∞
e
−
t
∑
n
=
0
∞
t
n
n
!
A
n
(
z
)
{\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A_{n}(z)}
若此极限在某个z ∈ C 时收敛至a(z) ，则称A 的弱博雷尔和 收敛于z ，并记为
∑
a
k
z
k
=
a
(
z
)
(
w
B
)
{\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}
假设上述的博雷尔变换在实数上收敛，且下列的反常积分 有意义，则A 的博雷尔和 定义为
∫
0
∞
e
−
t
B
A
(
t
z
)
d
t
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt.}
若积分在某个z ∈ C 时收敛于a(z) ，则称A 的博雷尔和在z 收敛，并记为
∑
a
k
z
k
=
a
(
z
)
(
B
)
{\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})}
实际上，积分求和法的条件中，博雷尔变换无需对所有t 都收敛，只需在0附近收敛为t 的一个解析函数 ，且它在正半轴上解析连续 即可。
(B )和(wB )两者都是正定的求和法，意味着若A(z) 收敛，则博雷尔和与弱博雷尔和两者都会收敛，并且其值等于原级数的值，亦即：
∑
k
=
0
∞
a
k
z
k
=
A
(
z
)
<
∞
⇒
∑
a
k
z
k
=
A
(
z
)
(
B
,
w
B
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=A(z)<\infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=A(z)\,\,({\boldsymbol {B}},\,{\boldsymbol {wB}})}
(B )的正定性容易由下式看出，若A(z) 在z 收敛，则
A
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
a
k
z
k
=
∑
k
=
0
∞
a
k
(
∫
0
∞
e
−
t
t
k
d
t
)
z
k
k
!
=
∫
0
∞
e
−
t
∑
k
=
0
∞
a
k
(
t
z
)
k
k
!
d
t
{\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a^{k}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{k}dt\right){\frac {z^{k}}{k!}}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\frac {(tz)^{k}}{k!}}dt}
其中最右式正是原级数在z 处的博雷尔和。
(B )和(wB )的正定性代表了此方法可以提供A(z) 的解析延拓。
对任意的级数A(z) ，若它在z ∈ C 处是弱博雷尔可求和的 ，则必定是博雷尔可求和的 。然而，可以构造 一个例子 ，使得其弱博雷尔和发散，但博雷尔和收敛。以下的定理表明了两者的等价性。
定理 (Hardy 1992 ，8.5)设A(z) 是一个形式幂级数，并限定z ∈ C ，则：
若
∑
a
k
z
k
=
a
(
z
)
(
w
B
)
{\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}
∑
a
k
z
k
=
a
(
z
)
,
(
B
)
{\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z),({\boldsymbol {B}})}
若
∑
a
k
z
k
=
a
(
z
)
(
B
)
{\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})}
lim
t
→
∞
e
−
t
B
A
(
z
t
)
=
0
{\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(zt)=0}
∑
a
k
z
k
=
a
(
z
)
(
w
B
)
{\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}
(B ) 是米塔-列夫勒求和法在α = 1时的特殊情况。
(wB ) 可视为广义欧拉求和法 (E ,q) 一个有限制的形式，其中
q
→
∞
{\displaystyle q\rightarrow \infty }
[ 1]
考虑几何级数
y
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
z
k
{\displaystyle y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}}
当 |z | < 1时，收敛到 1/(1 − z )。它的博雷尔变换为
B
y
(
t
)
≡
∑
k
=
0
∞
1
k
!
t
k
=
e
t
{\displaystyle {\mathcal {B}}y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}t^{k}=e^{t}}
因此，上述级数的博雷尔和为
∫
0
∞
e
−
t
B
y
(
t
z
)
d
t
=
∫
0
∞
e
−
t
e
t
z
d
t
=
1
1
−
z
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}y(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}e^{tz}\,dt={\frac {1}{1-z}}}
然而，这个积分能在更大的范围 Re(z ) < 1 内收敛到 1/(1 − z )，也就是原级数的和。
另外，对原级数使用弱博雷尔求和法，则其部分和为AN (z) = (1-zN+1 )/(1-z) ，因此其弱博雷尔和为
lim
t
→
∞
e
−
t
∑
n
=
0
∞
1
−
z
n
+
1
1
−
z
t
n
n
!
=
lim
t
→
∞
e
−
t
1
−
z
(
e
t
−
z
e
t
z
)
=
1
1
−
z
{\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}{\frac {t^{n}}{n!}}=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1-z}}{\big (}e^{t}-ze^{tz}{\big )}={\frac {1}{1-z}}}
同样在Re(z ) < 1时收敛。这个结论可以由等价定理的第二部分看出，因为对Re(z ) < 1，
lim
t
→
∞
e
−
t
(
B
A
)
(
z
t
)
=
e
t
(
z
−
1
)
=
0
{\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=e^{t(z-1)}=0}
级数
y
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
k
!
(
−
1
⋅
z
)
k
{\displaystyle y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }k!\left(-1\cdot z\right)^{k}}
对任意非零的 z 都发散。它的博雷尔变换为
B
y
(
t
)
≡
∑
k
=
0
∞
(
−
1
⋅
t
)
k
=
1
1
+
t
{\displaystyle {\mathcal {B}}y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\cdot t\right)^{k}={\frac {1}{1+t}}}
对任意的|t | < 1 都成立，且于 t ≥ 0 上解析连续。
因此，上述级数的博雷尔和为
∫
0
∞
e
−
t
B
y
(
t
z
)
d
t
=
∫
0
∞
e
−
t
1
+
t
z
d
t
=
1
z
⋅
e
1
z
⋅
Γ
(
0
,
1
z
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}y(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+tz}}\,dt={\frac {1}{z}}\cdot e^{\frac {1}{z}}\cdot \Gamma \left(0,{\frac {1}{z}}\right)}
（其中Γ是指不完全Γ函数 ）
这个广义积分对任意的 z ≥ 0 都收敛，所以原来的发散级数是对任意这样的 z 博雷尔可求和 的. 这个函数实际上是当 z 趋近于 0 时，原发散级数的一个渐近展开。从这个例子可见，一些发散的级数，亦有可能以博雷尔求和的方式求出“正确”的发散渐近展开式。
以下是(Hardy 1992 ，8.5)所给出的例子的一个扩展。考虑
A
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
(
∑
l
=
0
∞
(
−
1
)
l
(
2
l
+
2
)
k
(
2
l
+
1
)
!
)
z
k
.
{\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}(2l+2)^{k}}{(2l+1)!}}\right)z^{k}.}
交换求和的顺序后，上式的博雷尔变换为
B
A
(
t
)
=
∑
l
=
0
∞
(
∑
k
=
0
∞
(
(
2
l
+
2
)
t
)
k
k
!
)
(
−
1
)
l
(
2
l
+
1
)
!
=
∑
l
=
0
∞
e
(
2
l
+
2
)
t
(
−
1
)
l
(
2
l
+
1
)
!
=
e
t
∑
l
=
0
∞
(
e
t
)
2
l
+
1
(
−
1
)
l
(
2
l
+
1
)
!
=
e
t
sin
(
e
t
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {B}}A(t)&=\sum _{l=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\big (}(2l+2)t{\big )}^{k}}{k!}}\right){\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=\sum _{l=0}^{\infty }e^{(2l+2)t}{\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sum _{l=0}^{\infty }{\big (}e^{t}{\big )}^{2l+1}{\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sin \left(e^{t}\right).\end{aligned}}}
在 z = 2 处，可求得博雷尔和为
∫
0
∞
e
t
sin
(
e
2
t
)
d
t
=
∫
1
∞
sin
(
u
2
)
d
u
=
π
8
−
S
(
1
)
<
∞
,
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{t}\sin(e^{2t})dt=\int _{1}^{\infty }\sin(u^{2})du={\frac {\sqrt {\pi }}{8}}-S(1)<\infty ,}
其中 S(x) 表示菲涅耳积分 。于是上述博雷尔积分对任意z ≤ 2 都收俭（但显然积分对 z > 2发散）。
至于求弱博雷尔和时，注意到
lim
t
→
∞
e
(
z
−
1
)
t
sin
(
e
z
t
)
=
0
{\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{(z-1)t}\sin \left(e^{zt}\right)=0}
仅对 z < 1 成立，因此，实际上求得的弱博雷尔和只在一个较小的范围内收敛。
^ Hardy, G. H. (1992). Divergent Series . AMS Chelsea, Rhode Island.
Borel, E., Mémoire sur les séries divergentes , Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), 1899, 16 : 9–131 [2013-05-25 ] , （原始内容存档 于2018-10-04） Glimm, James; Jaffe, Arthur, Quantum physics 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag , 1987, ISBN 978-0-387-96476-8MR 0887102 Hardy, Godfrey Harold , Divergent Series , New York: Chelsea, 1992 [1949], ISBN 978-0-8218-2649-2MR 0030620 Reed, Michael; Simon, Barry, Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of operators, New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1978, ISBN 978-0-12-585004-9MR 0493421 Sansone, Giovanni; Gerretsen, Johan, Lectures on the theory of functions of a complex variable. I. Holomorphic functions, P. Noordhoff, Groningen, 1960, MR 0113988 Weinberg, Steven , The quantum theory of fields. Vol. II, Cambridge University Press , 2005, ISBN 978-0-521-55002-4MR 2148467 
