卡布列克数(Kaprekar number)是具有以下性质的数:
对于某个正整数
在n进位下存在正整数 A, B 及 m,且
![{\displaystyle 0<B<b^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128b7cae5125ec504037d0f4b049049c81e39aa0)
![{\displaystyle X^{2}=An^{m}+B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f35bbb2dadf8e4765e7ffa62eb73d323946a79b)
![{\displaystyle X=A+B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af318676df0ef92628ca7407b1ea1e46854eb80e)
简单的说,若正整数X在n进位下的平方可以分割为二个数字,而这二个数字相加后恰等于X,那么X就是n进位下的卡布列克数。
例如 297 在十进制下是卡布列克数,因为
,可以分割成 88 及 209,且 88+209=297。不过 100 在十进制下不是卡布列克数,虽然
,可以分割成 100 及 00,但 00 不是正整数。
在十进制下,几个较小的卡布列克数如下(OEIS数列A006886):
- 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170
在二进制下,所有的完全数都是卡布列克数。
有时候,人们会把6174这个数称作卡布列克数,而其实这是卡布列克常数。
对于某个正整数 在n进位下存在正整数 A, B 及 m,且
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-
简单的说,若正整数X在n进位下可以分割为二个数字,而这二个数字的平方和后恰等于X,那么X就是n进位下的卡布列克数。
以2025为例,2025可拆为20和25,20+25=45,452=2025,因此2025为卡布列克数。
此定义下的卡布列克数其实就是第一种定义下卡布列克数的平方。例如2025就是45的平方,而45就是第一种定义下的卡布列克数。
前几个卡布列克数是
1, 81, 2025, 3025, 9801, 10000, 88209……(OEIS数列A102766)