卢卡斯定理

在数论中，卢卡斯定理（英语：Lucas's theorem）用于计算二项式系数${\tbinom {m}{n}}$被质数 $p$除的所得的余数。

卢卡斯定理首次出现在1878年法国数学家爱德华·卢卡斯的论文中。

公式

对于非负整数$m$和$n$和素数$p$， 同余式:

${\binom {m}{n}}\equiv \prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}{\pmod {p}},$

成立。其中：

$m=m_{k}p^{k}+m_{k-1}p^{k-1}+\cdots +m_{1}p+m_{0},$

并且

$n=n_{k}p^{k}+n_{k-1}p^{k-1}+\cdots +n_{1}p+n_{0}$

是$m$和$n$的$p$进制展开。当$m<n$时，二项式系数 ${\tbinom {m}{n}}=0$。

推论

二项式系数 ${\tbinom {m}{n}}$ 可被素数$p$整除当且仅当在$p$进制表达下$n$的某一位的数值大于$m$对应位的数值。 这是 库默尔定理 的一个特殊情况。

证明

卢卡斯定理有多种证明方法。 下面首先给出一种组合方法的证明，然后给出了一种基于母函数方法的证明。

组合证明

设$M$为$m$元集，将其划分为$m_{i}$个长度为$p^{i}$的循环。然后这些循环中的每一个都可以单独轮换，因此作为循环群${C_{p}}^{i}$的笛卡尔积的群$G$作用于$M$。因此，它也作用于大小为$n$的子集$N$。由于$G$中的元素数量是$p$的幂，因此它的任何轨道都是如此。因此，为了计算 ${\tbinom {m}{n}}$ 模$p$，我们只需要考虑这个群作用的不动点。不动点是一些循环的并集。准确地说，可以通过对$k-i$的归纳来证明，$N$必须恰好有$n_{i}$个长度为$p^{i}$的循环。因此，$N$的个数正好是 $\prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}{\pmod {p}}$。

基于母函数的证明

本证明由Nathan Fine给出。

对于素数$p$和$n$，满足$1\leq n\leq p-1$, 二项式系数

${\binom {p}{n}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-n+1)}{n\cdot (n-1)\cdots 1}}$

可被$p$整除。由此可得，在母函数中

$(1+X)^{p}\equiv 1+X^{p}{\pmod {p}}.$

应用数学归纳法可证，对于任意非负整数$i$，有

$(1+X)^{p^{i}}\equiv 1+X^{p^{i}}{\pmod {p}}.$

对于任意非负整数$m$和素数$p$，将$m$用$p$进制表示，即$m=\sum _{i=0}^{k}m_{i}p^{i}$ ，其中$k$为非负整数、$m_{i}$为整数且$0\leq m_{i}\leq p-1$。注意到

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{m}{\binom {m}{n}}X^{n}&=(1+X)^{m}=\prod _{i=0}^{k}\left((1+X)^{p^{i}}\right)^{m_{i}}\\&\equiv \prod _{i=0}^{k}\left(1+X^{p^{i}}\right)^{m_{i}}=\prod _{i=0}^{k}\left(\sum _{n_{i}=0}^{m_{i}}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}X^{n_{i}p^{i}}\right)\\&=\prod _{i=0}^{k}\left(\sum _{n_{i}=0}^{p-1}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}X^{n_{i}p^{i}}\right)=\sum _{n=0}^{m}\left(\prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}\right)X^{n}{\pmod {p}},\end{aligned}}$

其中$n_{i}$是$n$的$p$进制表达的第$i$位。此即证明了本定理。

变型和推广

• 二项式系数 ${\tbinom {m}{n}}$ 中含有质数$p$的幂次为算式$n$和$m-n$在$p$进制下进行相加计算的进位次数。(被称为库默尔定理.)
• Andrew Granville将卢卡斯定理由素数推广到了到素数的幂次。

外部链接

• Lucas's Theorem at PlanetMath.
• Alternate Proof of Lucas'Theorem