数论中,卢卡斯定理(英语:Lucas's theorem)用于计算二项式系数质数 除的所得的余数。

卢卡斯定理首次出现在1878年法国数学家爱德华·卢卡斯[1]的论文中。

公式

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对于非负整数  和素数 , 同余式:

 

成立。其中:

 

并且

 

   进制展开。当 时,二项式系数  

推论

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二项式系数   可被素数 整除当且仅当在 进制表达下 的某一位的数值大于 对应位的数值。 这是 库默尔定理 的一个特殊情况。

证明

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卢卡斯定理有多种证明方法。 下面首先给出一种组合方法的证明,然后给出了一种基于母函数方法的证明。

组合证明

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  元集,将其划分为 个长度为 的循环。然后这些循环中的每一个都可以单独轮换,因此作为循环群 的笛卡尔积的群 作用于 。因此,它也作用于大小为 的子集 。由于 中的元素数量是 的幂,因此它的任何轨道都是如此。因此,为了计算   ,我们只需要考虑这个群作用的不动点。不动点是一些循环的并集。准确地说,可以通过对 的归纳来证明, 必须恰好有 个长度为 的循环。因此, 的个数正好是  

基于母函数的证明

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本证明由Nathan Fine[2]给出。

对于素数  ,满足 , 二项式系数

 

可被 整除。由此可得,在母函数中

 

应用数学归纳法可证,对于任意非负整数 ,有

 

对于任意非负整数 和素数 ,将  进制表示,即  ,其中 为非负整数 为整数且 。注意到

 

其中   进制表达的第 位。此即证明了本定理。

变型和推广

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  • 二项式系数   中含有质数 的幂次为算式   进制下进行相加计算的进位次数。(被称为库默尔定理.)
  • Andrew Granville将卢卡斯定理由素数推广到了到素数的幂次[3]

参考资料

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  1. ^ Edouard Lucas. Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques. American Journal of Mathematics. 1878, 1 (2): 184–196. JSTOR 2369308. MR 1505161. doi:10.2307/2369308.  (part 1);
  2. ^ Fine, Nathan. Binomial coefficients modulo a prime. American Mathematical Monthly. 1947, 54: 589–592. doi:10.2307/2304500. 
  3. ^ Andrew Granville. Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I: Binomial coefficients modulo prime powers (PDF). Canadian Mathematical Society Conference Proceedings. 1997, 20: 253–275 [2016-09-30]. MR 1483922. (原始内容 (PDF)存档于2017-02-02). 

外部链接

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