变分是在应用数学与变分法中泛函应对与函数中的微分使用的概念。具体可以分为泛函的变分、函数的变分等。[1]
设极值曲线为 y ^ = y ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {y}}={\hat {y}}(x)} ，可取曲线为 y = y ( x ) {\displaystyle y=y(x)} 。定义 δ y = y ^ − y {\displaystyle \delta {y}={\hat {y}}-y} 为y的一次变分，即函数y的增量。从而可得 δ y ′ = y ^ ′ − y ′ {\displaystyle \delta {y'}={\hat {y}}'-y'}
对隐函数 φ ( x , y ) = 0 {\displaystyle \varphi (x,y)=0} ，其一次变分即为全微分： δ φ = δ y ∂ φ ∂ y + δ x ∂ φ ∂ x {\displaystyle {\delta }{\varphi }=\delta y{\frac {\partial {\varphi }}{\partial {y}}}+\delta x{\frac {\partial {\varphi }}{\partial {x}}}} 。由于x无增量，即 δ x = 0 {\displaystyle \delta x=0} ，故有 δ φ = δ y ∂ φ ∂ y {\displaystyle {\delta }{\varphi }=\delta y{\frac {\partial {\varphi }}{\partial {y}}}} 。
对泛函 min y J ( y ) = ∫ x 0 x 1 F ( x , y ( x ) , y ′ ( x ) ) d x {\displaystyle {\underset {y}{\min }}{J(y)}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x,y(x),y'(x))dx} ，
可得 J ( y ^ ) − J ( y ) = ∫ x 0 x 1 ( ∂ F ∂ y δ y + ∂ F ∂ y ′ δ y ′ ) d x + O ( δ y ) {\displaystyle J({\hat {y}})-J(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}({\frac {\partial F}{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial F}{\partial y'}}\delta y')dx+O(\delta y)} ，其一次变分是其Taylor级数的一次项，即 δ J = ∫ x 0 x 1 ( ∂ F ∂ y δ y + ∂ F ∂ y ′ δ y ′ ) d x {\displaystyle \delta J=\int _{x_{0}}^{x_{1}}({\frac {\partial F}{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial F}{\partial y'}}\delta y')dx} ，或直接定义一次变分为 δ J ( y , h ) = d d ε J ( y + ε h ) | ε = 0 {\displaystyle \delta J(y,h)={\frac {d}{d\varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon =0}\,} 。
故其二次变分为其Taylor级数的二次项，即 δ 2 J = 1 2 ∫ x 0 x 1 ( ∂ 2 F ∂ y 2 ( δ y ) 2 + ∂ 2 F ∂ y ∂ y ′ δ y δ y ′ + ∂ 2 F ∂ y ′ 2 ( δ y ′ ) 2 ) d x {\displaystyle \delta ^{2}J={\frac {1}{2}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}({\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}(\delta y)^{2}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial y'}}\delta y\delta y'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}(\delta y')^{2})dx} 。
需要注意，与二阶微分 d 2 y = d ( d y ) {\displaystyle d^{2}y=d(dy)} 不同，泛函的二次变分不是对其一次变分再取变分。
计算 J ( y ) = ∫ a b y y ′ d x {\displaystyle J(y)=\int _{a}^{b}yy'dx\,} 的一次变分？
，
，其一次变分是其Taylor级数的一次项，即
，或直接定义一次变分为 
。
。
不同，泛函的二次变分不是对其一次变分再取变分。
的一次变分？
