吾乡-朱加猜想

数论中与伯努利数$B_{k}$有关的的吾乡—朱加猜想猜测：$p$是质数当且仅当

$pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}\$。

这猜想的上述形式是吾乡孝视在1990年提出；另一个等价的形式是朱塞佩·朱加（Giuseppe Giuga）在1950年提出：$p$是质数当且仅当

$1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}$。

Giuga指出，可能的反例n是一个卡迈克尔数，可被至少8个不同的素数因子整除。 Giuga验证了n> 10¹⁰⁰⁰的猜想。 1985年时，Edmondo Bedocchi已计算到n> 10¹⁷⁰⁰。 1996年时，Borwein和其他人已计算到n> 10¹³⁸⁰⁰。 Laerte Sorini，最后，在2001年的工作中表明，对该猜想的反例必须为n> 10³⁶⁰⁶⁷，这是Bedocchi假设Giuga证明其猜想的极限。

参考资料

• Agoh T. "On Giuga's conjecture" Manuscripta Math., 87(4), 501-510 (1995).
• Bedocchi E. "Nota ad una congettura sui numeri primi", Riv. Mat. Univ. Parma, (4) 11 (1985), 229-236.
• Borwein D., Borwein J. M., Borwein P. B., and Girgensohn R. "Giuga's Conjecture on Primality", Amer. Math. Monthly, 103, 40-50, (1996). pdf
• Borwein J.M., Skerritt M. and Maitland C. "Computation of a lower bound to Giuga's primality conjecture." Integers 13 (2013).
• Giuga G. "Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi", Ist. Lombardo Sci. Lett. Rend. A, 83, 511-528 (1950).
• Sorini L. "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga", Facoltà di Economia, Università degli Studi di Urbino Carlo Bo, Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, n. 68, Ottobre (2001) ISSN 1720-9668.