哈代—拉马努金定理

在数学上，哈代—拉马努金定理是由拉马努金证明、由哈代检验的公式。公式断言，若$\omega (n)$是正整数$n$彼此相异的质因数个数，那么其正常阶为$\log {\log {(n)}}$。

换句话说，绝大多数的正整数相异的质因数个数大略为$\log {\log {(n)}}$。

精确描述

一个更精确的叙述是，若$\psi (n)$是任意实数函数，且在$n$趋近于无限时会趋近于无限的话，那么以下关系式对几乎所有的整数成立（也就是例外的比例无限小）：

$|\omega (n)-\log \log n|<\psi (n){\sqrt {\log \log n}}$

更传统的关系式如下：

$|\omega (n)-\log \log n|<{(\log \log n)}^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }$

换句话说，若$g(x)$是不大于$x$且是上式例外的正整数$n$的个数的话，那么在$x$趋近于无限时，$g(x)/x$趋近于零。

历史

图兰·帕尔在1934年找到了上式的简单证明，他用图兰筛法证明了下式：（Turán (1934)）

$\sum _{n\leq x}|\omega (n)-\log \log x|^{2}\ll x\log \log x\ .$

推广

若将$\omega (n)$换成$\Omega (n)$，即正整数$n$质因数总数、将重复质因数重复计算，类似的结果仍然成立。

另外，这定理后来被推广为艾狄胥—卡滋定理；而艾狄胥—卡滋定理指出$\omega (n)$的数值基本呈现正态分布。

参考资料

• Hardy, G. H.; Ramanujan, S., The normal number of prime factors of a number n, Quarterly Journal of Mathematics, 1917, 48: 76–92 [2023-11-06], JFM 46.0262.03, （原始内容存档于2013-05-21） 
• Kuo, Wentang; Liu, Yu-Ru, The Erdős–Kac theorem and its generalizations, De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew; Luca, Florian (编), Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13--17, 2006, CRM Proceedings and Lecture Notes 46, Providence, RI: American Mathematical Society: 209–216, 2008, ISBN 978-0-8218-4406-9, Zbl 1187.11024 
• Turán, Pál, On a theorem of Hardy and Ramanujan, Journal of the London Mathematical Society, 1934, 9 (4): 274–276, ISSN 0024-6107, Zbl 0010.10401, doi:10.1112/jlms/s1-9.4.274 
• Hildebrand, A., Hardy-Ramanujan theorem, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4